Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ТЕОРИЯ

ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ТЕОРИЯ

ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ТЕОРИЯ - в квантовой механике - изучает схемы конкретных реализаций квантовых наблюдаемых как самосопряжённых операторов, действующих в гильбертовом пространстве, и состояний как векторов этого пространства.

Традиц. построение аппарата квантовой механики, восходящее к П. А. М. Дираку (Р. А. М. Dirac), состоит в обобщении введённого В. Гейзенбергом (W. Hei-senberg), М. Борном (М. Born) и П. Йорданом (P. Jordan) матричного описания физ. величин в абстрактную алгеб-раич. схему q -чисел, в к-рой операции дифференцирования по динамич. переменным классич. механики заменяются образованием коммутаторов с канонически сопряжёнными переменными. Для практич. вычислений нужно реализовать элементы этой алгебры операторами в гильбертовом пространстве - пространстве состояний. При этом элементам, имеющим физ. смысл,- квантовым наблюдаемым - должны отвечать самосопряжённые операторы, из собств. векторов к-рых можно набрать в пространстве состояний полную с и с т е-м у. Коммутирующие операторы, относящиеся к одновременно измеримым наблюдаемым <Неопределённостей соотношения), обладают общей системой собств. векторов. Совокупность n независимых коммутирующих операторов А _i наз. полным набором, если любой оператор, коммутирующий со всеми A_i, является их ф-цией.

Пусть - общая полная система собств. векторов такого набора:

Тогда любой вектор из пространства состояния может быть разложен по базису

(суммирование проводится по всем собств. значениям , где наз. волновой функцией в -представлении:

причём скалярное произведение (..., ...) в определено ф-лой

Действие сводится в -представлении к умножению на число:

а для любого другого самосопряжённого оператора С выражается через матричные элементы

в выбранном базисе:

Из существования разл. полных наборов коммутирующих операторов вытекает возможность разл. представлений. Переход от одного представления к другому сводится к замене базиса в :

При этом волновая ф-ция в -представлении

или

связана с унитарным преобразованием:

из свойств ортонормированности базисов вытекает

или

Матричные элементы операторов преобразуются при этом по ф-ле

или

Благодаря унитарности преобразования старая и новая системы матричных элементов и волновых ф-ций физически эквивалентны: спектры операторов, ср. значения и вероятности переходов совпадают.

Унитарные преобразования являются квантовым аналогом классич. канонич. преобразований. Эта аналогия ис сводится, однако, к взаимно однозначному соответствию. С одной стороны, согласно принципу неопределённости, точные значения в данном представлении может принимать только половина квантовых наблюдаемых, причём имеется значит. произвол в выборе этой Головины. Поэтому число квантовых представлений значительно больше числа наборов классич. канонич. переменных. С др. стороны, не все наборы классич. канонич. переменных имеют квантовый аналог. Простейшим примером служат переменные действие - угол: в отличие от действия, квантовый аналог угла не существует как самосопряжённый оператор.

Описанная выше "идеальная" схема реализуется лишь в простейшем случае операторов с чисто точечным спектром. В действительности уже такие естеств. квантовые наблюдаемые, как координаты и импульсы, имеют непрерывный спектр и представлены неогранич. операторами. Собств. ф-ции неогранич. операторов не принадлежат гильбертову пространству и оказываются обобщёнными функциями. Сами эти операторы хорошо определены не на всём , а лишь на его плотном подмножестве, на к-ром указанные обобщённые ф-ции являются линейными функционалами. При этом проблема квантования ставится как задача конструирования представлений канонических перестановочных соотношений в .

В простом, но нетривиальном примере бесструктурной частицы независимыми наблюдаемыми служат координаты и импульсы (i = 1, 2, 3), подчиняющиеся перестановочным соотношениям Гейзенберга:

В координатном представлении в качестве полного набора коммутирующих операторов выбираются Пространством состояний служит пространство ) квадратично интегрируемых комплекснозначных ф-ций со скалярным произведением

Действие операторов задаётся ф-лами

и, вообще говоря, выводит ф-ции из . Хорошо определены эти операторы на множестве D бесконечно дифференцируемых ф-ций, убывающих на бесконечности быстрее любой степени: действие и любых их целых положит. степеней не выводит из D. В D легко проверяется самосопряжённость операторов и неприводимость их представления (т. е. что любой коммутирующий с и оператор кратен единичному). Общая полная система собств. ф-ций операторов (с собств. значениями имеет вид

где - введённая для описания непрерывного спектра -функция Дирака. В этом примере легко находится и соответствующая система собств. ф-ций операторов

Хотя первая система - обобщённые, а вторая - обычные ф-ции, обе они не принадлежат , т. е. не квадратично интегрируемы.

Тому же выбору классич. канонич. переменных отвечает импульсное представление, в к-ром полным набором коммутирующих наблюдаемых служат операторы . Элементами являются теперь ф-ции из , действие операторов задано ф-лами

а их собств. ф-ции имеют вид

т. е. опять не принадлежат

Ф-ции связаны с преобразованием Фурье

к-рое выглядит как действие на интегрального оператора U; обратное преобразование получается действием сопряжённого оператора: Благодаря равенству Парсеваля

этот оператор унитарен, т. е. координатное и импульсное представления унитарно эквивалентны.

Унитарная эквивалентность характерна для любой квантовомеханич. системы с конечным числом степеней свободы: по теореме фон Неймана - Стоуна неприводимое представление канонич. перестановочных соотношений единственно с точностью до унитарного преобразования. Выбор представления диктуется соображениями удобства и простоты в конкретной физ. ситуации. Помимо координатного и импульсного представлений наиб. употребительны: представление, где полным набором операторов служат операторы Гамильтона Я, квадрата момента и его проекции на ось (в задачах о частице в центр. поле); Фока представление (в задачах, где система трактуется как набор слабо взаимодействующих осцилляторов); голоморфное представление ( в описании когерентных оптич. пучков и аналогичных систем) и т. д.

Для систем с бесконечным числом степеней свободы теорема фон Неймана - Стоуна неприменима, и существует бесконечное множество унитарно неэквивалентных представлений канонич. перестановочных соотношений. Необходимость рассмотрения таких бесконечномерных систем объясняется двумя обстоятельствами: для квантовой теории поля - реальностью этих систем, полей физических; для статистич. физики - отсутствием тео-ретич. методов описания релаксации к равновесному состоянию для конечномерных систем, отсутствием фазовых переходов в таких системах. Соответствующее матем. оформление весьма сложно и с необходимостью использует нефоковские представления перестановочных соотношений. К.-л. законченной схемы, позволяющей описать реальные физ. системы строго, пока нет, хотя рассмотрены мн. примеры, моделирующие ту или иную сторону реальной ситуации. Большинство же прикладных (с точки зрения П. т.) задач использует возмущений теорию, основанную на фоковском представлении канонич. перестановочных соотношений.

Лит.: Дирак П. А. М., Принципы квантовой механики, пер, с англ., 2 изд., М., 1979; Фридрихе К. О., Возмущение спектра операторов в гильбертовом пространстве, пер. с англ., М., 1969; Рюэль Д., Статистическая механика, пер. с англ., М., 1971; Завьялов О. И., Сушко В. Н., Неэквивалентные представления соотношений коммутации в физике бесконечных систем, в сб.: Статистическая физика и квантовая теория поля, М., 1973; Медведев Б. В., Начала теоретической физики, М., 1977; Фаддеев Л. Д., Якубовский О. А., Лекции по квантовой механике для студентов-математиков, Л., 1980. Б. В. Медведев, В. П. Павлов.