Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ПУАССОНА СКОБКИ

ПУАССОНА СКОБКИ

ПУАССОНА СКОБКИ - важное понятие аналитич. механики, введённое С. Пуассоном (S. Poisson) в 1809 и получившее дальнейшее развитие в гамильтоновой механике (см. Гамильтонов формализм). П. с. могут быть обобщены на случай квантовой механики, а также классич. и квантовой теории поля. П. с. двух динамич. величин f и g нек-рой гамильтоновой системы называют выражение

где f(q, р, t )и g(q, r, t)- нек-рые ф-ции т. н. гамильтоновых (канонических) переменных (k - число степеней свободы системы). Встречается определение П. с. {f, g}, отличающееся от определения (1) множителем (-1). Для обозначения П. с. могут использоваться также круглые (f, g )или квадратные [f, g]скобки. Иногда термин употребляется в единств. числе - "скобка Пуассона". Из определения (1) следуют свойства П. с.:

(где a, b - нек-рые константы);

(тождество V - т. н. тождество Якоби). Важным свойством П. с. является их инвариантность относительно канонич. преобразований (инвариантность относительно перехода к др. набору канонич. переменных Рп):

причём оба набора переменных удовлетворяют Гамильтона уравнениям. Если одна из ф-ций f или g совпадает с обобщённой координатой q_i или обобщённым импульсом р _k, то

Если и вторая ф-ция заменена на координату или импульс, то

Выполнение условия (3) для к.-л. набора переменных есть критерий каноничности этого набора. Замена f на гамильтониан системы Н,a g- на q_i или p_k даёт

т. е. соотношения, совпадающие с ур-ниями Гамильтона. Однако наиб. полно проявляется важность понятия П. с. при рассмотрении полной производной по времени от нек-рой динамич. величины F(q, p, t):

При выводе (5) использованы ур-ния Гамильтона и определение П. с. (1). Для сохраняющейся со временем величины F (т. н. интеграла движения) имеет место равенство

принимающее в случае F, не зависящего явно от времени, вид

Из (5), (6) и свойств П. с. вытекает Пуассона теорема- П. с. двух интегралов движения F и G есть также интеграл движения:

В квантовой механике, в к-рой роль классич. динамич. величин играют эрмитовские операторы, аналогом (1) являются т. н. квантовые П. с.

[Определение этих скобок иногда также отличается от (9) множителем (-1).] Квантовые П. с. обладают теми же свойствами (I - V), что и классические, причём доказательство справедливости тождества Якоби является в квантовом случае более простым. Сохраняют свой вид соотношения (3), и тем самым коммутац. соотношение Борна - Йордана

представляет собой аналог соответствующей классич. ф-лы, что впервые использовано П. Дираком (P. Dirac) в построении формального матем. аппарата квантовой механики. Через квантовые П. с. выражается оператор, отвечающий производной по времени нек-рой физ. величины А:

Наконец, сохраняет свой вид теорема Пуассона: умноженный на коммутатор двух интегралов движения есть также интеграл движения. В квантовом случае теореме Пуассона может быть придана групповая интерпретация, если интегралы движения обусловлены той или иной группой симметрии задачи (посредством Нётер теоремы). В таком случае интегралы движения совпадают (с точностью до множителя) с генераторами группы симметрии квантовой системы Коммутатор к.-л. пары генераторов (являющийся в силу теоремы Пуассона интегралом движения) должен к.-л. образом выражаться через все эти генераторы. Обычно эта связь линейна:

(по индексу g подразумевается суммирование). Ф-лы (11) фактически совпадают с соотношениями, определяющими Ли алгебру соответствующей группы симметрии квантовой системы, где - т. н. структурные константы. Следует иметь в виду, что в физ. лит-ре генераторы, как правило, являются эрми-товскими операторами, тогда как в матем. лит-ре - антиэрмитовскими. По этой причине в правой части соотношения (11) возникает мнимая единица г, и возможно появление множителя (-1).

В ряде случаев складывается, в известном смысле, обратная ситуация, если не все из имеющихся в данной задаче интегралов движения связаны с явной (следующей из геом. соображений) группой симметрии. Если коммутатор любой пары интегралов движения линейно выражается через все интегралы движения

можно попытаться найти группу, алгебра Ли к-рой описывается соотношениями (12). Если такая группа существует, то о ней говорят как о группе "скрытой" симметрии задачи (при этом числа являются структурными константами этой группы).

Следующие примеры иллюстрируют изложенное.

1. Свободная частица массы т с импульсом р: Группа симметрии - группа движений трёхмерного пространства (совокупность трёхмерных вращений и произвольных трансляций). Имеющиеся в данной задаче интегралы движения - компоненты импульса и момента импульса делённые на представляют собой набор генераторов упомянутой группы.

2. Частица в трёхмерном центр. поле:+ Группа симметрии задачи - группа трёхмерных вращений 0(3). Компоненты момента импульса (в единицах ) являются генераторами группы О(3).

3. Трёхмерный изотропный осциллятор: + Явная (геометрическая) симметрия задачи - О(3). Кроме момента импульса имеется ещё три очевидных интеграла движения

k =1, 2, 3 - сохраняющиеся энергии трёх независимых осцилляторов, отвечающих колебаниям вдоль трёх декартовых осей. Они взаимно перестановочны. Коммутаторы вида порождают интегралы движения

и т. п. Удобно перейти к следующим операторам:

через к-рые исходные интегралы движения выражаются в виде линейных комбинаций

П Т. П.

Алгебра Ли, связанная с операторами описывается соотношениями

представляющими собой канонич. форму алгебры Ли группы трёхмерных унитарных преобразований U(3) - группы "скрытой" симметрии трёхмерного изотропного осциллятора. Отсутствие множителя i в правой части предыдущего соотношения обусловлено неэрмитовостью (вообще говоря) инфинитезимальных операторов

4. Атом водорода. В атомных единицах ( е= = т =1) гамильтониан задачи имеет вид Кроме момента импульса (безразмерного в используемых единицах) задача обладает специфич. векторным интегралом движения, т. н. вектором Рунге-Ленца:

Удобно ввести "нормированный" вектор Рунге-Ленца, имея в виду отрицательность энергии в связанных состояниях атома водорода:

Коммутац. соотношения между операторами p имеют вид

- полностью антисимметричный единичный псевдотензор в пространстве трёх измерений. Последние соотношения представляют собой алгебру Ли группы вращений четырёхмерного евклидова пространства 0(4) - группу "скрытой" симметрии атома водорода. Аналог П. с. может быть получен в классич. теории поля, если описание этого ноля допускает применение гамильтонова формализма. Для двух динамич. величин F и G, характеризующих поле как целое, т. е. являющихся интегральными характеристиками поля и тем самым функционалами гамильтоновых переменных и (играющих роль обобщённых координат и импульсов гамильтоновой системы с конечным числом степеней свободы), П. с. определяются соотношением

где -т. <н. функциональные производные, имеющие в простейшем случае скалярного поля (и лагранжиана 1-го порядка) вид

f и g - плотности величин F и G:

G - определяется аналогичным образом.

Лит.: Ландау Л. Д., Лифшиц E. М., Квантовая механика, 4 изд., М., 1989; их же, Механика, 4 изд., М., 1988; Шифф Л., Квантовая механика, пер. с англ., 2 изд., М., 1959; Гантмахер Ф. Р., Лекции по аналитической механике, 2 изд., М., 1966; Ланцош К., Вариационные принципы механики, пер. с англ., М., 1965; Xаар Д. тер, Основы гамильтоновой механики, пер. с англ., М., 1974; Джеммеr М., Эволюция понятий квантовой механики, пер. с англ., М., 1985.

С. П. Аллилуев.