Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ПЕРЕСТАНОВОК ГРУППА

ПЕРЕСТАНОВОК ГРУППА

ПЕРЕСТАНОВОК ГРУППА - степени n- множество S(n )перестановок п "предметов". П. г. такженаз. симметрической группой. Условимся считать, что данные предметы размещенына п занумерованных местах и символ

обозначает перестановку, к-рая состоитв перемещении предмета с места i_k на место j_k (движение вниз). Из этого представления видно, что порядок расположенияпар (i_kj_k) в символе S не имеетзначения, а умножение в группе S(n)

напоминает закон умножения матриц. П. г. <является конечной группой порядка n!

Элементы из S(n )могут быть порожденыболее простыми элементами, наз. циклами или транспозициями, напр.

где каждый цикл (i₁i₂...i_m )определяется как частичная перестановка

Цикл из двух символов наз. транспозицией. <Цикл можно записать иначе: (1234) = (2341) = (3412) = (4123); произведениенепересекающихся циклов коммутативно: (1234) (567) = (567) (1234); циклс одним символом обычно опускают. Любой цикл можно представить как произведениетранспозиций: (1234) = (12)(13)(14) (действие слева направо). Каждая перестановкапредставляется в виде произведения непересекающихся циклов (однозначно, <с точностью до порядка множителей). Каждая конечная группа порядка . изоморфна подгруппе группы S(n )(теорема Кэли).

Группа S(n )допускает точное линейноепредставление (см. Представление гриппы )в векторном пространстве V_n размерности п. Оператор представления T_s переводит х V_n в х'= T_sxV_n,так что в произвольном фиксиров. базисе е ₁, е ₂,...,е _п представление Т _s элемента S действует след. образом:

В каждом столбце и в каждой строке матрицы T_s содержится по единств. элементу, равному единице, <все остальные элементы равны нулю. Все неприводимые представления П. г. <можно описать при помощи Юнга схем.

Если физ. система состоит из п тождественныхчастиц, то группа симметрии её гамильтониана будет содержать группу S(п).

Лит.: Любарский Г. Я., Теория группи ее применение в физике, М., 1958; Хамермеш М., Теория групп и ее применениек физическим проблемам, пер. с англ., М., 1966; Барут А., Рончка Р., Теорияпредставлений групп и ее приложения, пер. с англ., ч. 1 - 2, М., 1980.

С. И. Азакин.