Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ

ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ - раздел математики, в к-ром строят и изучают матем. модели случайных явлении.

Случайность присуща в той или иной степени подавляющему большинству протекающих в природе процессов. Обычно она присутствует там, где существ. влияние на ход процесса оказывает очень большое число незначительных по отдельности факторов (как, напр., при движении броуновской частицы или в классич. примере с бросанием монеты), особенно в том случае, когда система динамически неустойчива; статистич. характер имеют также законы квантовой механики. Внешне случайность проявляется как недостаточная регулярность в массовых явлениях, к-рая не позволяет с достоверностью предсказывать наступление определ. событий, т. е. не допускает описания этих явлений в рамках детерминиров. моделей. Тем не менее при изучении таких явлений выявляются определ. закономерности. Свойственная случайным событиям нерегулярность, как правило, компенсируется наличием т. н. статистич. закономерности, стабилизации частот наступлений случайных событий в длинном ряду испытаний; тогда говорят, что данные случайные события имеют определ. вероятность Пусть при каждом осуществлении нек-рого воспроизводимого комплекса условий С может наступать или не наступать событие А. Наличие у события А при условиях С определ. вероятности р означает, что в достаточно длинной серии испытаний (повторных осуществлений условий С; предполагается, что эти испытания в нек-ром смысле независимы) частота наступления события А, т. <е. отношение числа тех испытаний из серии, в к-рых А наступило, к общему их числу, приблизительно равна p.T. о., для описания связи случайных событий с условиями их наступления вместо обычного для классич. естествознания утверждения "в условиях С наступает событие А" приходится ограничиваться утверждением "при условиях С событие А имеет вероятность р". Именно для таких случайных событий, имеющих определ. вероятность, удалось построить содержат. матем. теорию, к-рая и носит название В. т. На практике особенно часто используют такие её результаты, к-рые позволяют утверждать, что вероятность P(А )наступления определ. события А близка к 1, т. е. что А практически достоверно. Такие результаты относятся, как правило, к области предельных теорем В. т., к-рые и являются её осн. содержанием.

Статистич. закономерности были известны давно, понятия В. т. возникли в сер. 17 в. в работах Б. Паскаля (В. Pascal), П. Ферма (P. Fermat) и X. Гюйгенса (Ch. Huygens), Существ. вклад в развитие В. т. внесли Я. Бернулли (J. Bernoulli), П. Лаплас (P. Laplace), К. Гаусс (С. Gauss), C. Пуассон (S. Poisson), П. Л. Чебышев. В кон. 19 - нач. 20 вв. открыто большое кол-во статистич. закономерностей в физике, биологии и др. науках (радиоакт. распад, законы Менделя и т. д.). Следует отметить, что статистич. закономерности возникают и в неслучайных схемах (напр., в распределении цифр в таблицах ф-ций и т. п.); это обстоятельство используется при "моделировании" (имитации) случайных явлений, напр. в Монте-Карло методе.

Основные понятия теории вероятностей. Для вероятностей случайных событий справедливы след. простые соотношения. Пусть А и В - события, относящиеся к условиям С. Обозначим через А В объединение событий А и В (событие "наступает А или В"), а через - достоверное событие, т. е. событие, наступающее при каждом осуществлении условий С. События Au B наз. несовместными, если их одноврем. наступление невозможно. Из частотной интерпретации вероятности следует:

для несовместных А и В. Последнее свойство обобщается и на любое конечное число попарно несовместных событий; это свойство наз. теоремой сложения вероятностей.

Строгую В. т. можно построить, исходя лишь из этих соотношений. В наиб. простом её варианте (элементарной В. т.) предполагают, что испытание заканчивается одним из конечного набора исходов , к-рые наз. элементарными событиями. Каждому исходу приписывают вероятность О, причём . Рассматриваемые в элементарной В. т. события имеют вид "наступает , или , ..., или "; исходы наз. благоприятствующими А . Событие наз. достоверным. Вероятность P (А )события А равна сумме вероятностей благоприятствующих ему исходов: . Именно так устроена любая числовая ф-ция, заданная на классе всех подмножеств и удовлетворяющая условиям (1-3) (при этом определяют как объединение наборов благоприятствующих А и В исходов, а несовместными наз. события, не имеющие общих благоприятствующих исходов).

В. т. развивалась вначале в рамках частного случая элементарной В. т., в к-ром и, следовательно, вероятность события А равна отношению числа благоприятствующих А исходов к общему числу N"равновозможных" исходов (т. н. классическое определение вероятности; именно оно имеется в виду, когда говорят о случайном выборе одного из нек-рой совокупности предметов). Такое определение вероятности является, по существу, спец. формой записи симметрии случайного явления и поэтому часто встречается при использовании дискретных вероятностных моделей (напр., в статистич. физике, биологии и т. п.). Вычисление вероятностей при этом сводится к подсчёту числа благоприятствующих исходов, т. е. к комбинаторной задаче.

В рамках элементарной В. т. можно также наиб. просто определить осн. понятия В. т. Совмещением (или пересечением) событий А и В наз. событие = "наступает и А и В" (т. е. набор благоприятствующих ему исходов равен пересечению множеств исходов, благоприятствующих А и В). Все эти определения обобщаются и на любое конечное число событий. Наряду с символами , в В. т. широко используют и др. теоретико-множеств. обозначения (что естественно, поскольку события в ней отождествляются с множествами исходов). Так, -дополнительное (или противоположное) к А событие (образованное всеми неблагоприятствующими А исходами); запись означает, что появление события А влечёт наступление В. Приведём простейшие свойства вероятности [все они вытекают из 1)-3)]: 4) ; 5) если , то ; 6) [значит, для произвольных А и В в 3) вместо равенства должен стоять знак ].

Условная вероятность события А при условии В определяется как , т. е. вероятность события А на подмножестве тех событий, где выполнено В. Такое определение хорошо согласуется с частотной интерпретацией вероятностей. На практике часто используют след. соотношения между вероятностями случайных событий. Пусть B₁, ..., B_n- , попарно несовместные события и их объединение есть достоверное событие W. Формула полной вероятности

для любого события А позволяет вычислить его вероятность по условным вероятностям , найти к-рые часто значительно легче, чем P(A), Формулу Бейеса широко используют в статистике, события при этом наз. гипотезами, P(B₁)- их априорными вероятностями, а -апостериорной вероятностью (вероятность справедливости гипотезы Bj, если известно, что наступило событие А).

События A и B наз. независимыми, если условная вероятность одного из них при условии наступления другого равна его безусловной вероятности, или, что то же, если . Аналогично события A₁, А ₂, ..., A_n наз. независимыми, если для любых

(Отметим, что из попарной независимости событий отнюдь не вытекает их независимость в совокупности.) Последнее равенство наз. теоремой умножения вероятностей. Ф-ла (1) останется справедливой, если нек-рые из A_i заменить в обеих частях на дополнительные к ним события

Пример. Пусть события А ₁, ..., A_n независимы и имеют каждое вероятность р. Эти события можно интерпретировать как "успехи" в наблюдении нек-рого случайного события в п независимых испытаниях. Тогда вероятность наступления ровно m успехов равна

Действительно, можно взять , все i_k=0 или 1}, где i_k=l соответствует наступлению А _k, а i_k=0 - его ненаступлению. Наступлению т успехов благоприятствуют те исходы (i₁, ..., i_n), у к-рых среди i_k ровно т единиц; всего таких исходов , а вероятность каждого такого исхода в силу независимости A_k, свойства (4) и ф-лы (1) равна .

К этому примеру непосредственно примыкает одна из первых (и важнейших) предельных теорем В. т.- теорема Бернулли (простейшая форма больших чисел закона), согласно к-рой вероятность значит. уклонения частоты успехов v от вероятности р при больших п становится сколь угодно малой. Т. <о., рассматриваемая матем. модель случайных явлений приводит к согласующемуся с практич. наблюдениями выводу о стабилизации частот случайных событий около их вероятностей.

Скорость стремления частоты nк p оценивают с помощью теоремы Лапласа (частный случай центральной предельной теоремы). С ростом n вероятность стремится к Ф(b)-Ф(а), где - ф-ция стандартного нормального распределения ( Гаусса распределения).

Частота n является типичным примером др. объекта В. <т.- случайной величины. Так называется любая ф-ция X, ставящая в соответствие каждому исходу число x_i, при этом среди x_i могут быть и равные. Конкретный вид отображения часто несуществен, достаточно знать лишь распределение случайной величины X, т. е. набор разл. возможных значений и приписываемых им вероятностей. Математическое ожидание случайной величины X определяется как число

Пример. Пусть в предыдущем примере для исхода (i₁, ..., i_k, ..., i_i), k=1, ..., n, т. е. случайные величины принимают на N= 2ⁿ исходах лишь два возможных значения: 0 и 1, с вероятностями 1- р и р соответственно, так что

Частота успехов , при этом равна (2), т. е. nn имеет биномиальное распределение.

В этом примере рассматривался набор случайных величин X=(X₁, ..., X_n), или случайный вектор. Основной характеристикой случайного вектора, как и случайной величины, является его распределение (совместное распределение случайных величин X₁, ..., X_n), т. е. набор возможных его значений (x₁, ..., х _п )и их вероятностей, равных вероятностям совмещений событий . Если эти события для всех наборов (x₁, ..., x_n) оказываются независимыми, то случайные величины X₁, ..., X_n также наз. независимыми. О важнейших числовых характеристиках случайных величин см. Дисперсия, Моменты случайной величины, Корреляции коэффициент.

Аксиоматика теории вероятностей. Элементарная В. т. недостаточна для описания случайных явлений уже в простых ситуациях. Модель с конечным числом исходов непригодна, напр., для понятия "случайно выбранной на отрезке точки". Такого рода трудности позволяет преодолеть схема, предложенная A. H. Колмогоровым в 1933 и ставшая с тех пор общепринятой.

Осн. эле. <ментами этой аксиоматич. схемы являются: пространство элементарных событий , к-рое может быть множеством произвольной природы, нек-рый класс его подмножеств, т. е. множеств элементарных событий, к-рые наз. событиями, и числовая ф-ция P на , к-рая удовлетворяет условиям 1)-3) и наз. вероятностью. Для корректности матем. модели требуют, чтобы класс был s-алгеброй (т. е. чтобы сам было событием и, значит, принадлежало , чтобы наряду с любым событием А классу принадлежало бы и его дополнение и чтобы для любой бесконечной последовательности событий A₁, A₂, ... их объединение также было событием), а ф-ция P была счётно-аддитивной, т. е. чтобы вместе со свойством 3) имело место следующее: если события A₁, A₂, ... попарно несовместны, то [это означает, что P является мерой на измеримом пространстве ]. Тройка наз. вероятностным пространством. Очевидно, что элементарная В. т. является на самом деле частным случаем реализации этой схемы; её осн. определения остаются в силе и в общем случае. Одно из существ. отличий заключается в определении случайной величины : требуют, чтобы множества принадлежали классу при всех x. Для таких ф-ций X можно определить абстрактный интеграл Лебега, к-рый и наз. матем. ожиданием случайной величины X. Задавать случайную величину X удобнее всего с помощью её ф-ции распределения

Предельные теоремы. Осн. задача В. т.- находить по вероятностям одних случайных событий вероятности других, связанных к.-л. образом с первыми. Типичный пример-определение вероятности события , где X_k - независимые случайные величины, имеющие одно и то же известное распределение. Однако при больших п непосредств. вычисление вероятности P(A_n )становится очень трудоёмким и практически невозможным. В таких случаях полезны предельные теоремы В. т., к-рые позволяют найти приближённые значения искомых вероятностей. Так, если в нашем примере матем. ожидание

, то в силу закона больших

чисел при любых а< р < b вероятность P (A_n )с ростом п стремится к 1. Центральная предельная теорема уточняет этот результат: если дисперсия конечна, то случайная величина имеет приблизительно нормальное распределение со средним р и дисперсией , т. е. при , и а<b вероятность события A_n стремится с ростом п к Ф (b) - Ф ( а). Т. о., для сходимости распределения случайной величины к нормальному достаточно лишь наличия у слагаемых X_k конечной дисперсии, а в остальном вид распределения X_k не важен; этим объясняется широта распространения нормального распределения в практич. применениях В. т. Не менее естеств. образом при суммировании случайных величин с бесконечной дисперсией в качестве предельных распределений появляются устойчивые распределения, отличные от нормального (напр., Коши распределение). На практике весьма полезны и т. н. теоремы о больших отклонениях, к-рые позволяют с высокой относит. точностью аппроксимировать малые вероятности. Осн. метод доказательства предельных теорем основан на использовании характеристических функций. Аналогичные предельные теоремы доказаны и для случайных векторов (в т. ч. бесконечномерных), известны также предельные теоремы для объектов более общей алгебраич. природы: случайных матриц, элементов группы и т. д. Кроме того, можно ослабить условие независимости

Случайные процессы. Одним из осн. разделов В. т. является теория случайных процессов и полей, важность к-рой обусловлена огромным кол-вом её приложений. Случайным процессом наз. однопараметрич. семейство случайных величин X(t).B большинстве приложений параметр t является временем, и термин "случайный процесс" относится именно к этому случаю; когда одномерный параметр t не имеет смысла времени, часто говорят о случайной функции, а в случае многомерного t - о случайном поле. Если параметр t целочисленный, то случайный процесс наз. случайной последовательностью или временным рядом. Случайный процесс, как и случайную величину, можно охарактеризовать его распределением; для этого достаточно задать его конечномерные распределения, т. е. совокупность совместных распределений случайных величин для всевозможных и п. Для случайных процессов, как и для случайных величин, доказано большое кол-во предельных теорем (иногда их наз. функциональными предельными теоремами).

Наиб. развита теория двух спец. классов случайных процессов, к-рые в то же время чаще всего встречаются в применениях: марковских случайных процессов и стационарных случайных процессов. Случайный процесс наз. марковским (или процессом без последействия), если для любых условное распределение X (t₂ )при условии, что известно поведение X (t )при , зависит только от значения X(t₁) (т. е. "будущее" при фиксиров. "настоящем" от "прошлого" не зависит). Такие процессы являются естеств. обобщением детерминиров. процессов, рассматриваемых, напр., в классич. механике, для к-рых состояния системы в моменты времени однозначно определяются её состоянием в момент t₁; мн. задачи для марковских процессов сводятся к дифференц. ур-ниям для ф-ций, определяющих распределения вероятностей процессов.

Стационарность случайного процесса означает неизменность во времени его вероятностных закономерностей. В В. т. рассматривают два вида стационарности: стационарность в узком смысле, когда конечномерные распределения инвариантны относительно сдвига времени, и стационарность в широком смысле, когда от времени t не зависят лишь матем. ожидания и . На практике чаще используют предположение о стационарности в широком смысле.

Важнейшей областью применения результатов В. т. и источником новых задач для неё является математическая статистика - раздел математики, посвящённый матем. методам обработки и использования статистич. данных. Типичными для матем. статистики являются задачи, в известном смысле обратные задачам В. т.: если в последней, напр., требуется, зная "природу" случайного явления (распределение соотв. вероятностей), указать, как будут себя вести наблюдаемые в эксперименте характеристики этого явления, то в матем. статистике, наоборот, требуется по эксперим. данным сделать выводы о природе случайного явления. Осн. задачами матем. статистики являются статистическое оценивание и проверка статистических гипотез.

Лит.: Гнеденко Б. В., Курс теории вероятностей, 5 изд., M., 1969; Феллер В., Введение в теорию вероятностей и ее приложения, пер. с англ., т. 1-2, [3 изд.], M., 1984; Смирнов H. В., Дунин Барковский И. В., Курс теории вероятностей и математической статистики для технических приложений, 3 изд., M., 1969; Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А., Теория вероятностей, 2 изд., M., 1973; Боровков А. А., Теория вероятностей, M., 1976.

К. А. Боровков.