Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ МЕТОД

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ МЕТОД

ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ МЕТОД - приближённый асимптотич. метод вычисления волновых полей, опирающийся на представление о лучах, вдоль к-рых распространяется энергия волны. Г. о. м. отвечает широкому, "волновому", пониманию геом. оптики, в противоположность геом. оптике в узком, "лучевом", смысле, ориентированной на построение изображений при помощи лучей. Первоначальный, лучевой, период развития Г. о. м. был завершён трудами У. Гамильтона (W. Hamilton) и его последователей, тогда как начало современному, волновому, периоду положил П. Дебай (P. Debye) в 1911.

Уравнения геометрической оптики. Переход от волнового ур-ния к ур-ниям геом. оптики проще всего продемонстрировать на примере скалярного монохроматич. волнового поля и(r), удовлетворяющего ур-нию Гельмгольца , где п(r)- коэф. преломления, - волновое число, - частота [зависимость от времени даётся множителем , к-рый для простоты не выписывается]. В рамках Г. о. м. волновое поле представляют в виде , причём параметры волны - амплитуду А(r) и градиент фазы - считают ф-циями, медленно меняющимися в масштабе длины волны :

т. е. предполагают, что поле и(r )имеет структуру квазиплоской волны. Амплитуду А разлагают далее в ряд по безразмерному малому параметру , где L - характерный масштаб задачи: А= (процедура Дебая - Рытова). Чтобы получить ур-ния для эйконала. и амплитуд А _т, в ур-нии Гельмгольца следует приравнять нулю коэф. при одинаковых степенях или . Ур-ния для и амплитуды нулевого приближения A₀ (соответственно ур-ние эйконала и ур-ние переноса) имеют вид

Характеристики ур-ния эйконала в Г. о. м. наз. лучами. Ур-ния лучей можно записать в разл. формах. Чаще всего употребляются лагранжева форма

и гамильтонова форма

Здесь - элемент длины луча, , вектор, касательный к лучу. В однородной среде (=0) лучи являются прямыми линиями. Если известно двупараметрич. семейство лучей , покидающих нач. поверхность S⁰ (рис. 1), то решения ур-ний (2) с нач. значениями и , заданными на S°, можно выразить через параметры семейства лучей:

где интегрирование ведётся вдоль лучей, а - якобиан перехода от лучевых координат к декартовым. T. о., лучи в Г. о. м. образуют костяк, на к-рый "нашивается" волновое поле, наз. в этом случае лучевым полем. Согласно (2), поток энергии направлен по касательной к лучу. В одномерных задачах Г. о. м. равносилен ВКБ-методу.

Ур-ния Г. о. м. значительно проще, чем исходное волновое ур-ние, т. к. сводятся к системе обыкновенных дифференц. ур-ний (3) или (4). Для сравнительно просто устроенных сред эти ур-ния допускают аналитич. решения, в т. ч. методом разделения переменных, но чаще используют приближенные решения методом возмущений и численными методами. В рамках Г. о. м. легко описать слабое поглощение в среде (вводя соответств. фактор ослабления вдоль криволинейного луча), а также отражение и преломление на криволинейных границах раздела, для чего используют Френеля формулы.

Условия применимости. Рассматривая луч как физ. объект, его можно окружить "френелевским объёмом", к-рый содержит все первые Френеля зоны,,"нанизанные" на луч (рис. 2). Френелевский объём определяет область, влияющую на формирование поля в точке наблюдения. Исходя из этого, можно сформулировать достаточные условия применимости Г. о. м., к-рые сводятся к требованию, чтобы в поперечном сечении френелевского объёма с радиусом а _f параметры волны А и р практически не менялись:

Эти неравенства гарантируют малость дифракц. эффектов, тогда как неравенства (1) служат лишь необходимыми условиями применимости Г. о. м.

Разновидности Г. о. м. используют при решении разнообразных физ. задач, причём не только в оптике, но и в радиофизике, физике плазмы. У Г. о. м. имеются "двойники": геометрическая акустика, геом. сейсмология, квазиклассическое приближение квантовой механики (в трёх измерениях) и т. д. Особенно велика роль Г. о. м. в задачах распространения волн в неоднородных средах, для к-рых аналитич. решения исходного волнового ур-ния известны только для небольшого числа частных случаев.

Для описания векторных полей (эл.-магн., упругие, гидродинамич. и др. волны) разработано неск. вариантов Г. о. м. В случае анизотропных сред используют представление поля в виде суммы независимых (невзаимодействующих) нормальных волн. В изотропных средах разделяют продольные и поперечные волны, при этом оказывается, что векторы поля в поперечной волне вращаются относительно естеств. трёхгранника со скоростью, равной кручению луча : (закон Рытова). В промежуточном случае слабо анизотропных сред, когда нужно учитывать взаимодействие нормальных волн, эффективное описание поля достигается при помощи квазиизотропного приближения геом. оптики. Распространение немонохроматич. волн в общем случае неоднородных и нестационарных сред с частотной и пространств. дисперсией описывают при помощи пространственно-временной геом. оптики, к-рая опирается на понятие пространственно-временных лучей. Последние вводят как характеристики ур-ния эйконала

где - полная фаза волны. В нестационарных средах энергия волны не сохраняется, но в определ. условиях существует адиабатический инвариантconst, где - энергия волнового пакета. Разработаны также варианты Г. о. м. для случайно-неоднородных сред, волноводных систем и резонаторов, поверхностных волн, нелинейных задач и т. д.

Обобщения Г. о. м. Значение Г. о. м. определяется не только его наглядностью, универсальностью и эффективностью при решении разнообразных задач, но и тем, что он явился эвристич. основой мн. приближённых методов в теории распространения и дифракции волн. Комплексный Г. о. м. используют для описания полей в сильно поглощающих средах и в области каустич. тени. Ряд обобщений Г. о. м. направлен на устранение расходимости поля вблизи каустик. Сюда относятся метод эталонных ф-ций Кравцова - Людвига, метод канонич. оператора Маслова, метод интерференц. интеграла Орлова и нек-рые др. методы, существенно использующие лучевой каркас для построения равномерных и локальных асимптотик поля. К обобщениям Г. о. м. следует отнести также метод геом. теории дифракции Келлера, метод краевых волн Уфимцева, полутеневые асимптотич. методы и ряд др. подходов, выражающих дифракц. поле через решение известных эталонных задач и использующих разл. типы дифракц. лучей, с введением к-рых дифракц. поля приобретают лучевую структуру.

Наконец, следует указать квазиоптич. обобщения Г. о. м.: плавных возбуждений метод (Рытова), параболического уравнения приближение (Леонтовича - Фока), Кирхгофа метод дифракц. интеграла для неоднородных сред. Указанные обобщения существенно расширили возможности Г. о. м. и позволили проводить расчёты полей в таких областях, как зоны тени и полутени, окрестности каустик и фокусов и т. д.

Лит.:Pытов С. M., Модулированные колебания и волны, "Тр. ФИАН", 1940, т. 2, в. 1; Бреховских Л. M., Волны в слоистых средах, 2 изд., M., 1973; Борн M., Вольф Э., Основы оптики, пер. с англ., 2 изд., M., 1973; Бабич В. M., Булдырев В. С., Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн, M., 1972; Mаслов В. П., Федорюк M. В., Квазиклассическое приближение для уравнений квантовой механики, M., 1976; Кравцов Ю. А., Орлов Ю. И., Геометрическая оптика неоднородных сред, M., 1980. Ю. А. Кравцов.

Зарядово-обменные Г. р. Аналоговый резонанс был открыт экспериментально в 1962 А. Андерсоном (A. Anderson) и Вонгом (Ch.-Y. Wong) в реакции (р, п), гамов-теллеровский резонанс обнаружен в 1979. Аналоговый O⁺ (S=0, L=0) и гамов-теллеровский 1⁺ (S=1, L=0) Г. р. интерпретируются как возбуждённые состояния ядра A(N, Z). С микроскопич. точки зрения это когерентные возбуждения, построенные из состояний "протон-нейтронная дырка", образованных переходами нейтрона в незаполненные протонные состояния. В случае O⁺ такой переход происходит без изменения квантовых чисел нуклонов (см. Аналоговые состояния), а в случае 1⁺ - с поворотом их спина (рис. 5).

С феноменологич. точки зрения 0⁺ рассматривается как состояние ядра А(N-1, 2+1), принадлежащее тому же изомультиплету, что и осн. состояние ядра A(N, Z), т. е. отвечающее тому же изоспину Т=(N-Z)/2, но отличающееся от последнего проекцией изоспина T_z: для A (N, Z) T_Z=T, для аналогового Г. р. T_z=T-1. Такая схема соответствует приближённому сохранению в ядерных процессах изоспиновой симметрии (нарушаемой эл.-магн. поправками).

Рис. 5. Схема возбуждения зарядово-обменных и нейтральных резонансов.

Наряду с энергией Г. р., к-рая отсчитывается от осн. состояния ядра A (N, Z), важной характеристикой зарядово-обменных Г. р. является величина матричного элемента -перехода в осн. состояние ядра A(N, Z). Энергия аналогового Г. р. определяется разностью кулоновских энергий ядер A (N-1, Z+i )и A (N, Z):

а с точностью до 1-2% исчерпывает правило сумм, что связано с приближённым сохранением изоспина:

Энергия гамов-теллеровского резонанса в ср. ядрах лежит на 2-4 МэВ выше и приближается к с ростом А и N-Z. Для тяжёлых ядер (Pb-U) энергии и практически совпадают, что может означать приближённую реализацию т. н. спин-изоспиновой (вигнеровской) симметрии в тяжёлых ядрах (см. Унитарная симметрия). Гамов-теллеровский Г. р. исчерпывает ок. 60% своего правила сумм. Причиной может быть переход в более сложные 1⁺ состояния (2ч-2д) либо влияние далёких по энергии, но сильно коллективных состояний, описывающих виртуальные возбуждения самих нуклонов ядра. Если T- изоспин аналогового Г. р. ядра A(N, Z), то гамов-теллеровский Г. р. того же ядра имеет изоспин T-1.

Наряду с аналоговым и гамов-теллеровским Г. р. в реакциях (р, n) при энергии протонов ~200 МэВ наблюдаются также Г. р. положительно заряж. ветви возбуждений средних и тяжёлых ядер с L=1, S=1 и L=2, S=1. Первые имеют квантовые числа , вторые - 1⁺ , 2⁺ ,3⁺. Для ветви =-1 наблюдались: в реакции Г. p. 0⁺ ; в -распаде протонно-избыточных ядер-1⁺ ; в -захвате на ядре ⁴⁰Ca - 1^- (S=0, L=1), являющийся отрицат. изотопич. аналогом электрического дипольного Г. р. (рис. 5).

Распад, формирование Г. р. Как правило, Г. р. расположены при энергиях возбуждения, превышающих пороги испускания частиц из ядра, и, следовательно, распадаются преим. с вылетом нуклонов или лёгких ядер. Самые лёгкие ядра распадаются преим. с испусканием -частиц; с ростом А возрастает доля протонного канала, однако с увеличением Z он обрезается кулоновским барьером ядра. Тяжёлые ядра распадаются в основном с испусканием нейтронов. Наблюдается также деление ядра из Г. p. E1. и Е2. Распад аналоговых Г. р. идёт как с вылетом протонов, так и по нейтронному каналу (запрещённому при строгом сохранении изоспина).

Изучение каналов распада Г. р. позволяет выяснить его формирование, изучить его связь с др. возбуждениями ядра, получить информацию о поведении кулоновского барьера при колебаниях ядра, распады Г. р. дают информацию о вкладе различных одночастичных состояний в структуру коллективного состояния.

Взаимодействие ядра с внеш. полем с образованием Г. р. разделяется на ряд этапов. На 1-м этапе происходит рождение частично-дырочного возбуждения, отвечающего состояниям 1ч-1д над поверхностью Ферми исходного ядра. На 2-м этапе возбуждённая пара взаимодействует с нуклонами ядра, образуя другое (1ч- 1д) состояние или две частично-дырочных пары (2ч- 2д-состояние). Далее образуются (Зч - Зд) и более сложные конфигурации, пока не установится статистич. равновесие.

Полная ширина Г. р. (Г) обусловлена двумя процессами: прямым распадом в область непрерывного спектра и распадом (1ч - 1д)- конфигураций на более сложные многочастичные . Смешивание со сложными конфигурациями приводит к потере когерентности и образованию состояний составного ядра. Макроскопически связано с "ядерной вязкостью", приводящей к затуханию колебаний ядра. При распаде лёгких ядер в полной ширине Г. р. преобладает , для тяжёлых - , причём для последних в случае E1~80-90% от полной ширины.

Экспериментальные методы. Г. р. возбуждаются за счёт эл.-магн. и сильного взаимодействий частиц с ядром. При взаимодействии -квантов с энергией 10-25 МэВ с ядром избирательно возбуждается Г. р. E1, т. к. длина волны -квантов R, а Г. р. высших мультипольностей подавлены в отношении .

Осн. метод изучения др. Г. р.- неупругое рассеяние частиц. Напр., при неупругом рассеянии быстрых электронов возбуждаются все Г. р. с =0 и =1, но имеет место высокий уровень фона. В неупругом рассеянии протонов также могут возбуждаться все виды Г. р., однако кинематич. особенности реакции при энергии протонов 40-50 МэВ уменьшают вероятность возбуждения Г. р. с =1, 5=1. Г. р. выделяются над фоном (связанным с прямым выбиванием протонов из ядра) при 100 МэВ.

Наилучшие результаты для изучения изоскалярных Г. р. даёт рассеяние -частиц и ядер ⁸Li с энергией >100МэВ (рис.4). В этих процессах запрещено возбуждение Г. р. с =1 (а в случае ⁶Li имеет место значит. снижение фона).

Для изучения зарядово-обменных резонансов используют реакции перезарядки нуклонов. В реакции (р, п) возможно возбуждение состояний как с S=0, так и S=1, причём первые возбуждаются при энергиях 40 МэВ, а вторые при -100-200 МэВ. В реакции (⁶Li, ⁶He) возможно лишь образование Г. р. с S=1.

Для изучения Г. р. нейтральной ветви использовались также реакции (d, d'), (³He, ³He'), рассеяние лёгких и тяжёлых ионов, в положит. ветви - , (³He, ³H), в отрицат. ветви (⁷Li, ⁷Be) - (n, р), , -захвати - распад протонно-избыточных ядер.

Лит.: Hаумов Ю. В., Крафт О. E., Изоспин в ядерной физике, Л., 1972; Айзенберг И., Грайнер В., Модели ядер. Коллективные и одночастичные явления, пер. с англ., M., 1975; Бор О., Моттельсон Б., Структура атомного ядра, пер. с англ., т. 2, M., 1977; Бертч Дж. Ф., Колебания атомных ядер, пер. с англ., "В мире науки", 1983, № 7, с. 16.

Ю. В. Гапонов, С. П. Камерджиев, А. А. Оглоблин.