Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ - в статистической физике - ф-ция, определяющая вероятность относит. расположения комплекса из s любых молекул жидкости или газа; при s=2 К. ф. наз. парной или бинарной. Появление корреляций в расположении молекул среды связано с тем, что в ближайшем окружении любой из них вследствие взаимодействия возникает упорядочение в расположении окружающих её молекул. При этом ср. плотность молекул окружения к.-л. выделенной молекулы отличается от ср. плотности среды, приближаясь к ней с увеличением расстояния. Это происходит монотонно или с затухающими осцилляциями (появление ближнего порядка).

В классич. статистич. физике s -частичную К. ф. F_s(q₁,..., q_s )определяют так, что V^-sF_s(q_l, . . ., q_s ) dq₁. . .dq_s есть вероятность того, что координаты 1, . . ., s -й молекул попадают в бесконечно малые элементы объёмов dq_l. . .dq_s, расположенные около точек q₁, . . ., q_s , где q_i= (x_i, у _i, z_i ), V- объём. Следовательно, s -частичная К. ф. связана с (s-1)-частичной К. <ф. соотношением

= F_s-1(q₁, . . ., q_s-1).

Равновесные К. ф. связаны с каноническим распределением Гиббса и могут быть получены из него интегрированием по координатам N-s молекул:

где

U_N - потенц. энергия взаимодействия молекул системы, Q_N - конфигурац. интеграл, Т - темп-ра, N - полное число частиц. В случае парного взаимодействия молекул с потенциалом Ф(r), зависящим только от расстояния, энергия взаимодействия равна

тогда F₂ зависит только от расстояния между молекулами F₂(q₁, q₂)=F₂. (радиальная ф-ция распределения).

Парная ф-ция распределения особенно важна, т. к. позволяет получить уравнение состояния и ср. энергию системы с парным взаимодействием между частицами:

где = V/N - уд. объём.

Зависимость радиальной ф-ции распределения от расстояния можно определить экспериментально по угл. зависимости когерентного рассеяния рентг. лучей. Интенсивность I (s) рентг. лучей с длиной волны , рассеянных под углом к первичному пучку интенсивности I₀, определяется выражением

где s=

Обращая это соотношение, можно найти зависимость F₂ от расстояния r. При достаточно малых г (порядка неск. газокинетич. радиусов молекул) F₂(r )может иметь ряд максимумов, соответствующих ближнему порядку, а затем она стремится к 1 (рис.).

Радиальная функция распределения. Сплошная линия - теоретическая кривая (r - в единицах радиуса молекул), точки соответствуют экспериментальным данным для Аr при Т=91,8К и Р=1,8*10⁵ Па.

Ф-ции распределения F₁ . . ., F_s удовлетворяют цепочке ур-ний (см. Боголюбова уравнения), к-рые можно решить с граничным условием ослабления корреляции молекул при увеличении расстояния между ними:

при . Для пространственно однородных систем F₁(q)=0. При решении цепочки ур-ний для F_s в виде разложения по степеням плотности получим вириальные разложения для ур-ния состояния и К. ф., а в случае кулоновского взаимодействия между частицами при решении цепочки ур-ний в виде разложения по степеням плазменного параметра , где r_d - дебаевский радиус экранирования, получим результаты теории электролитов Дебая - Хюккеля.

В квантовой статистич. механике К. ф. определяют при помощи статистического оператора ( матрицы плотности )всей системы как статистич. операторы комплексов из s молекул:

где операция Sp взятия следа выполняется по переменным s+1, . . ., N частиц. Ф-ции F_s симметричны или антисимметричны относительно перестановок q или в зависимости от того, какой статистике подчиняются частицы (симметричны в случае Бозе - Эйнштейна статистики и антисимметричны в случае Ферми - Дирака статистики). Диагональные элементы квантовой К. ф. имеют смысл плотности распределения комплекса из s частиц. Смысл недиагональных элементов становится ясен, если перейти к Вигнера функции распределения, к-рая зависит от q и импульсов р всех частиц (q, p )и является фурье-образом статистич. оператора , по переменным , что соответствует а преобразованию Beйля. В результате получаются квантовые s -частичные операторы E_s(q₁ . . ., q_s; р₁, ..., p_s), которые являются квазивероятностями, т. е. их интегрирование по импульсам даёт распределение по координатам, а интегрирование по координатам - распределение по импульсам, однако они не имеют смысла обычных вероятностей, т. к. могут быть отрицательными.

Квантовые s -частичные К. ф. можно выразить через волновые ф-ции в представлении вторичного квантования :

где означает усреднение с полным статистич. оператором, а удовлетворяют перестановочным соотношениям статистики Ферми - Дирака или статистики Бозе - Эйнштейна. Через квантовые одно- и двухчастичные операторы можно вычислить ср. значения давления и энергии. В отличие от классич. случая, для этого нужно знать не только диагональные элементы F₂, но и недиагональные элементы F₁, т. к. плотность кинетич. энергии определяется величиной (

В статистич. механике квантовых и классич. систем используют также пространственно-временные К. ф., к-рые определяют как статистич. средние от произведения операторов (или динамич. переменных), взятых для разл. моментов времени и точек пространства. Напр., в квантовом случае используют К. ф.

Пространственно-временные К. ф. применяют в теории неравновесных процессов, т. к. через них выражается реакция системы на внеш. возмущения и, следовательно, восприимчивости (см. Грина функция). При помощи пространственно-временных К. ф. потоков энергии, импульса или числа частиц можно вычислить кинетич. коэффициенты (см. Грина - Кубо формулы). Пространственно-временные К. ф. позволяют выразить когерентные и некогерентные составляющие дифференциального эфф. сечения рассеяния нейтронов в среде, что является важным методом эксперим. исследования К. ф.

Лит.: Физика простых жидкостей, пер. с англ., [ч. 2], М., 1973, гл. 2; Исихара А., Статистическая физика, пер. с англ., М., 1973; Балеску Р., Равновесная и неравновесная статистическая механика, пер. с англ., т. 1, М., 1978, гл. 8; Боголюбов Н. Н., Избр. труды по статистической физике, М., 1979; Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П., Физическая кинетика, М., 1979; Климонтович Ю. Л., Статистическая физика, М., 1982. Д. Н. Зубарев.

-----------------------------------

КОРРЕЛЯЦИОННАЯ ФУНКЦИЯ случайного процесса - ф-ция В (s, t) = М[ Х (s) -MX (s)].[X(t) - MX (t)]*, s, , [здесь MX (t) - первый момент процесса, * означает комплексное сопряжение; предполагается, что . В случае векторного процесса К. ф. наз корреляционная матрица , где B_ij(s, t) = - взаимная К. ф. процессов X_i и X_j, В _ii наз . иногда автокорреляционной функцией. Характеристич. свойство К. ф.- её положит. определённость: для любых t₁, . . ., t_n Т икомплексных с₁ . . ., с _т: . Для процесса с

независимыми значениями В (s, t)=0при st. Для стационарных в широком смысле процессов К. ф. зависит лишь от разности t-s: В (s, t) = R(t-s). Если при этом процесс непрерывен в среднем квадратическом, т. е. М при , то К. ф. R(t). непрерывна и допускает представление R(t) = , где F - спектральная мера процесса, а пробегает интервал , если Т=(), либо [], если Т={. . .,- 1, 0, 1, . . .} (см. также Винера - Хинчина теорема).

К. ф.- простая, но полезная характеристика случайного процесса. Распределение гауссовой случайной функции X (t )полностью определяется её К. ф. и средним MX (t); в общем случае это заведомо не так. В то же время К. ф. вполне описывает процесс как кривую в гильбертовом пространстве интегрируемых в квадрате ф-ций на вероятностном пространстве, на к-ром задан процесс (см. Вероятностей теория), позволяет судить о таких его свойствах, как непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость в среднем квадратическом и т. п. Условия на скорость убывания К. ф. при используют в предельных теоремах для случайных процессов.

Лит.: Гихман И. И., Скороход А. В., Введение в теорию случайных процессов, 2 изд., М., 1977; Введение в статистическую радиофизику, ч. 1 - Рытов С. М., Случайные процессы, М., 1976. К. А. Боровков.