Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
МУЛЬТИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

МУЛЬТИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

МУЛЬТИПОЛЬНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ -излучение, обусловленное изменением во времени мультипольных моментов системы. Излучение огранич. системы источников представляет собой расходящиеся сферич. волны, так или иначе промодулированные по угл. переменным. Его анализ естеств. образом приводит к разложению излучаемого поля по полному набору сферических функций, обладающих определ. угл. зависимостью. При этом сама система источников, описываемых ф-циями координат (r )и времени (t), может быть представлена в виде набора вполне определ. конфигураций излучателей - мультиполей. Отд. мультиполи как источники излучения характеризуются только ф-циями времени - мультипольными моментами. Их зависимость от времени связана как с внутр. динамикой системы, так и с пе-рем. внеш. воздействиями. Представление излучаемого системой поля в виде суперпозиции полей отд. мультиполей плодотворно не только в прямых задачах исследования поля излучения сложных источников, но и в обратных задачах восстановления свойств источников по характеристикам их излучения.

В электродинамике излучение волн или, в общем случае, генерация перем. эл.-магн. полей E= -f - и В =[A] обусловлены нестационарностью плотности электрич. заряда r(r, t )и тока j(r, t). В вакууме эти поля описываются волновыми ур-ниями

Здесь векторный А и скалярный f потенциалы подчинены условию калибровки Лоренца A.+ / с = 0 (см. Градиентная инвариантность), точка обозначает д/дt, используется Гаусса система единиц. Фурье преобразование ур-ний (1) по времени [A(r,t) A(r, w)ехр (- iwt )и т. д.] приводит к неоднородным Гельмгольца уравнениям

Решение ур-ний (2) (при условии излучения - уходящие волны при r , см. Зоммерфельда условия излучения )для фурье-образов потенциалов вне источников, занимающих конечную область пространства в окрестности точки r = 0, представляется в виде [без множителя ехр( - iwt)]:

Здесь фурье-компоненты скалярных p_lm, электрич. n_lm и магн. m_lm мультипольных моментов определяются след. интегралами по области, занятой источниками:

В ур-нии (3) фигурируют сферич. ф-ции

ортонормированные интегралом по сфере единичного радиуса:

где q, f - полярный и азимутальный углы направления n =r/r, P_l^|m| - присоединённые полиномы Лежандра, d_ll' - Кронекера символ (звёздочка означает комплексное сопряжение). Они являются собственными функциями операторов и :

где - оператор орбитального момента импульса, ось z - заданное направление в пространстве, cosq = п _z, - l <= т<= l (l и | т| - натуральные числа). В (3) и (5) входят сферич. ф-ция Ганкеля h_l (с особенностью в нуле) и регулярная (без особенности в нуле) сферич. ф-ция Бесселя j_l (см. Цилиндрические функции). Величины

определяющие электрич. и магн. мультипольные поля, выражаются через ортонормированные векторные сферич. ф-ции

к-рые являются собств. ф-циями операторов [], , и , отвечающими собственным значениям i, l(l+ 1), s(s+ 1), j(j+ 1) и m соответственно. Оператор полного момента импульса включает оператор спина фотона , к-рый действует на векторную ф-цию а(r )по правилу = - ie_pqka_k, где e_pqk - Леви-Чивиты символ, числа p, q, k принимают значения 1, 2, 3 (по k - суммирование). Для ф-ций (8) s= 1,а собств. значения операторов и совпадают: j = l. Величины

продольные "мультипольные потенциалы", к-рые в пустоте не дают никакого эл.-магн. поля (в силу его ненулевой спиральности), но сохранены в (4) для полноты разложения. Используя соотношения

находим фурье-образы электрич. и магн. полей M. и.:

T. о., вне источников (т. е. в области, где j = 0, r = 0) поля M. и. распадаются на два типа -электрического (в них магн. поле поперечно, поскольку M_lm | r )и магнитного( в них поперечно электрич. поле). О первых слагаемых в (9), отвечающих состоянию поля с полным моментом j=l и чётностью (-1)^j, говорят как об электрич. 2^j -польных фотонах, а о вторых слагаемых в (9) с моментом j = l ичётностью (-1)^j+1 - как о магн. 2^j- польных фотонах. Соответствующие фурье-амплитуды полей этих двух типов задаются набором фурье-ком-понентов мультипольных моментов п _lт(w)и m_lm(w), к-рые определяются свойствами системы или индуцируются внеш. полями (телами).

Мультиполи наз. внешними, если их поля рассматриваются во внешней (по отношению к источникам) области, и внутренними - при рассмотрении их полей внутри системы, но в области, свободной от источников. В области, занятой источниками, такое простое представление невозможно, поскольку амплитуды полей (3), (4) зависят от координат и, кроме того, существенно наличие продольных "мультипольных потенциалов" 4pi(w/c)p_lmL_lm. Более того, величины (5) - (7) не дают полного описания распределения зарядов и токов в источнике и особенностей их взаимодействия с внеш. полем; в общем случае необходимо ещё задание т. н. (2n + + l )-степенных радиусов распределения плотности заряда и тока. Последние определяются интегралами вида

аналогично для др. мультиполей (Q =). В отличие от статич. предела (w = 0) для гармонически колеблющихся зарядов определение электрич. п _lт (но не магн. m_lm) мультипольных моментов содержит существ. дополнит. особенность. Интеграл в (6) можно выразить в эквивалентной форме, явно выделив зарядовый и токовый вклады:

Наряду с осциллирующей плотностью заряда [входящей в (10) аналогично случаю электростатики, но с учётом эффектов запаздывания] электрич. мультипольный момент формируется также осциллирующей плотностью радиального тока. Это обстоятельство приводит к независимой, новой (по отношению к электро- и магнитостатике, ср. Мультиполи )системе т. н. тороидных мультиполей, простейшим представителем к-рой является анаполь - тор с токами, текущими строго по его меридианам. Согласно (10) и ур-нию непрерывности iwr(r,w)= = j(r, w), величина тороидных моментов на два порядка по частоте выше, чем зарядовых моментов того же ранга, и на один порядок выше, чем магн. моментов. Магн. мультипольные моменты, как и в магнитостатике, обусловлены плотностью поперечного ( | r) тока, напр. в случае тора - токами, текущими по его параллелям. Необходимость введения тороидных моментов, независимых не только от зарядовых, но и от магн. моментов, становится очевидной, если представить плотность тока в виде

и учесть, что вихревое поле f(r, w) описывается как минимум двумя скалярными ф-циями, напр.:

Тороидные моменты отсутствуют в случае чисто продольного тока(h), когда f =0, и порождаются той (радиальной) частью тока ([f]), к-рая остаётся неучтённой в (7), где | r. В статич. пределе (w 0), когда j_l(rw/c) ~(rw/ с)^l и h_l(rw/с) ~(rw/ с)^-(l+1), тороидные Л1ультиполи наряду с магн. мультиполями дают вклад в разложение векторного потенциала А(r,w), но после взятия операции ротора, В =[ А], "выживают" только магн. мультиполи.

Поля M. и. (9) заданных интенсивности, типа (электрич. или магн.) и мультипольного характера (lm) могут генерироваться источниками, заключёнными внутри сферы произвольного, сколь угодно малого радиуса. Для любого распределения плотности заряда-тока

равного нулю за пределами сферы радиуса r₀, всегда можно найти др. распределение плотности заряда-тока (r₁, j₁), осциллирующее с той же частотой w и равное нулю вне сферы меньшего радиуса r₁ < r₀, такое, что поле излучения при r > r₀ будет тождественным тому, к-рое порождалось первонач. источниками [теорема Казимира (H. Casimir)]. Следовательно, произвольно узкая угл. диаграмма направленности может быть осуществлена при помощи произвольно малого источника. Однако реализация такой сверхэффективной антенны предполагает создание большого кол-ва когерентных мультиполей разного ранга (l )со сравнимой интенсивностью M. и. Последнее весьма затруднительно, по крайней мере для источников, занимающих область малого размера по сравнению с излучаемыми длинами волн, r₀ << c/w, поскольку тогда, как правило, порядок величин мультипольных моментов быстро падает с ростом l:

В отличие от электро- и магнитостатики, все пространственные гармоники полей (9) убывают при удалении от источника по одному и тому же закону - обратно пропорционально расстоянию r. Поэтому все они вносят вклад в мощность излучения P (на данной частоте w), проинтегрированную по всем направлениям n:

Отсюда видно, что для сосредоточенных источников (r₀<< с/w)с ростом номера l при прочих равных условиях мощность M. и. убывает как r₀ (w/c)^(2l+2). Излучающая система теряет угл. момент, плотность к-рого m = (8pc)^-1[r[EB*]]. Угл. момент относительно оси z, испускаемый в единицу времени, равен

T. о., каждый фотон M. и. с заданным азимутальным индексом т уносит, наряду с энергией , угл. момент т, поскольку = Pm/w. Необходимо отметить, что мультипольные поля с заданными значениями полного угл. момента j=l итипа (электрического или магнитного) не имеют определ. значения спиральности и орбитального момента, поскольку без нарушения условия поперечности свободного эл.-магн. поля невозможно разделение орбитального момента и спина. Последнее связано с калибровочной инвариантностью поля и отсутствием массы у фотона.

В квантовой теории вычисление отношения квадрата излучаемого угл. момента к квадрату энергии при излучении N квантов в заданной мультипольной (lm )-моде даёт фактор {N²m² + N[l(l +1) - m²]}w^-2. B классич. пределе (N >> 1) это приводит к указанному

выше значению (в расчёте на 1 квант) , но в случае излучения только одного фотона даёт "квантовый ответ" l(l+ 1) w^-2, полагающийся для "частицы" в (lm )-состоянии. Нетривиальяость соответствующего перехода заключается в том, что при конечном числе клан-то в N когерентно складываются только их z-компоненты угл. момента (это даёт член N²m²), тогда как, согласно принципу неопределённости, две остальные ( х-, y -)-компоненты складываются некогерентно, добавляя член, пропорциональный N.

Квантовые источники, напр. возбуждённые молекулы, ядра или адроны, испускают фотоны в мультипольных состояниях (или в определ. суперпозиции этих состояний с определ. чётностью, см. Отбора правила). Однако мультипольность (lm )-фотона не измеряется непосредственно, локально, а требует интегрирования по поверхности, охватывающей источники. Реально детектируемые фотоны обычно представляют собой плосковолновые состояния с определ. спиральностью. В связи с этим изучение физ. свойств источников фотонoв по характеристикам M. и. фактически предполагает проведение преобразования между мультипольными состояниями и наблюдаемыми плосковолновыми состояниями поля, т. е. разложение сферич. векторных волн по плоским волнам. Подобные особенности квантовых измерений важны, напр., при спектроскопич. изучении угл. корреляций ядерных гамма-лучевых каскадов, поскольку в ядрах, в отличие от атомов и молекул, широко распространены переходы высшей мульти-польности.

Согласно соответствия принципу, квантовомеханич. ф-лы для интенсивности спонтанного M. и. на частоте при переходе квантовой системы с энергетич. уровня на уровень (т. е. при переходе из стационарного состояния y₂ в y₁) получаются из классич. ф-л для спектральной мощности излучения соответствующей заменой квадратов фурье-компонентов мультипольных моментов |n_lm(w)|², |m_lm(w)|² на квадраты удвоенных матричных элементов , Отношение определённой таким образом интенсивности излучения к энергии кванта (2p/h)w. даёт вероятность радиац. перехода в единицу времени. Она складывается из вероятности излучения различных (lm )-фотонов. При этом (в силу закона сохранения угл. момента) M. и. определённого (lm )-фотона оказывается возможным, только если начальное и конечное значения угл. момента (и его z-компоненты) у излучающей системы подчиняются правилам отбора, а изменение чётности состояния системы согласуется с чётностью фотона данного типа [электрического (-1)l или магнитного - (-1)l]. Если при заданном значении величины момента фотона l его z-проекция m (а с ней и z-проек-ция момента излучающей системы) не определена, то говорят о M. и. частично поляризованных фотонов. Вероятность индуцированного M. и. (lm )-фотона (или его поглощения) отдельной квантовой системой определяется умножением вероятности спонтанного M. и. на число N уже имеющихся в поле фотонов данной (lm)- моды (см. Вынужденное испускание). Однако это правило требует уточнения (нелинейного самосогласования) в сильных когерентных полях (N), когда квантовая система деформируется фотонами (lm )-моды и её состояния нельзя рассматривать независимо от поля (см. Нелинейная оптика).

Для атомов и ядер, в к-рых энергия излучаемого кванта не превышает энергий покоя частиц, оценка вероятности спонтанного мультипольного перехода электрич. типа порядка l даёт

Для перехода магн. типа вероятность w^m(l )меньше в раз, где g - эффективный g-факmop частиц в атомной или ядерной системе (g ~2), - магнетон. Бора для этих частиц, т _Ч - масса частицы.

Размер атомов r₀ ~ a₀/Z _э, где а₀ - Бора радиус, Z _э - эфф. заряд ядра; частоты переходов в атомах таковы, что e²Z _э²/a₀, т. е. r₀w/c Z _э/137. B ре-звультате типичные электрич. квадрупольные (l =2)и магн. дипольные (l =1) переходы в атомах прибл. в (137/Z _э)² раз менее вероятны, чем электрич. дипольные (разрешённые переходы). Высшие мультиполи, в частности тороидный диполь (анаполь), играют принципиальную роль лишь для рентг. переходов в атомах тяжёлых элементов. Учёт высших мультиполей необходим также при определении влияния внутр. поля на спектры молекулярных кристаллов и при расчёте экситон-ных переходов в полупроводниках, где эффективная масса электронов может понижаться на порядок и более.

Размер атомных ядер r₀ 1,2A^1/3 10^-13 см ( А - число нуклонов в ядре), а частоты переходов лежат в широком диапазоне (соответствующие энергии от неск. кэВ до~10 МэВ). При этом обычно r₀w/c 1 и w^m(l) ~~w^e(l)/(3A^2/3), так что, согласно указанной упрощённой оценке, и в ядрах наиб. вероятными должны быть электрич. дипольные переходы с l =1. Однако благодаря сильному взаимодействию нуклонов, не зависящему от заряда, эти электрич. дипольные переходы часто оказываются подавленными (особенно при малых энергиях (2p/h)w). Поэтому радиац. время жизни возбуждённых ядер и их излучение в значит. мере определяются высшими мультипольными переходами. В частности, существуют т. н. гигантские резонансы и запрещённые g-переходы в тяжёлых ядрах.

Если размеры области, занятой источниками, малы по сравнению с излучаемыми ею длинами волн (r₀w/c << 1), то можно пренебречь эффектами запаздывания и легко осуществить обратное фурье-преобра-зование полей (9). В результате M. и. на произвольном расстоянии r от системы предстанет как явная ф-ция времени, задаваемая переменными мультипольными моментами. В волновой зоне поперечные ( | r) поля излучения произвольной системы с точностью (по r₀w/c) до членов, включающих вклад тороидного диполя T(t), равны

(суммирование по повторяющимся индексам). Здесь р ^е и р ^m - векторы электрич. и магн. дипольных моментов, Q^e_kp и Q^m_pi - тензоры электрич. и магн. квадрупольных моментов, Q^e_kpq- тензор электрич. октупольного момента.

Мультипольное разложение поля является эфф. средством исследования свойств разл. излучателей, особенно если их размеры малы по сравнению с излучаемыми длинами волн. Представление о M. и. используется не только для скалярного и векторного полей в вакууме [как в (1) - (7)], но и для более сложных тензорных полей (напр., гравитационного) или для полей в сплошных средах, в частности для эл.-магн. поля излучения мультиполей, движущихся со сверхсветовой скоростью в среде ( Черенкова - Вавилова излучение), для поля упругих деформаций в анизотропных кристаллах и т. д.

Лит.: Джексон Д ж., Классическая электродинамика, пер. с англ., M., 1965; Берестецкий В. Б., Лиф-шиц E. M., Питаевский Л. П., Квантовая электродинамика, 3 изд., M., 1989; Дубовик В. M., Чешков А. А., Мультипольное разложение в классической и в квантовой теории поля и излучение, "ЭЧАЯ", 1974, т. 5, с 791; Gray C. G., Multipole expansions of electromagnetic fields using Debye potentials, "Araer. J. Phys.", 1978, v. 46, p. 169; Франк И. M., Излучение Вавилова - Черенкова для электрических магнитных полуполей, "УФН", 1984, т. 144, с. 251; Биденхарн Л., Лаук Дж ., Угловой момент в квантовой физике, пер. с англ., т. 2, M., 1984; MUller E. E., Scalar potentials for vector fields in quantum electrodynamics, "J. Math. Phys.", 1987, v. 28, p. 2786. В. В. Кочаровский, Вл. В. Кочаровский.