Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ФЕЙНМАНА ДИАГРАММЫ

ФЕЙНМАНА ДИАГРАММЫ

ФЕЙНМАНА ДИАГРАММЫ -наглядный и эфф. способ описания взаимодействия в квантовой теории поля (КТП). Метод предложен Р. Фейнманом (R. Feynman) в 1949 для построения амплитуд рассеяния и взаимного превращения элементарных частиц (см. Амплитуда рассеяния, Амплитуда процесса )в рамках теории возмущений (см. Возмущений теория), когда из полного (эффективного) лагранжиана системы полей выделяется невозмущённая часть (свободный лагранжиан) квадратичная по полям, а оставшаяся часть (лагранжиан взаимодействия)трактуется как возмущение.

Составными элементами Ф. д. являются вершины, внутренние и внешние линии. Каждая из линий подсоединяется к каким-нибудь вершинам: внутренняя к двум, а внешняя к одной. Набор вершин определяется структурой а внешних и внутренних линий-структурой . Каждому моному по полям, в соответствует определ. тип вершин, а каждому виду поля в -определ. тип линий. Если поле нейтральной (соответствующая частица совпадает со своей античастицей, см. Истинно нейтральные частицы), то линия считается ненаправленной, в противном случае линия направленная и на диаграмме снабжается стрелкой.

Существуют т. н. правила Фейнмана (ПФ, см. ниже), к-рые сопоставляют каждому элементу Ф. д. определ. матем. объекты (величины и операции), так что по Ф. д. можно однозначно построить аналитическое выражение, дающее вклад в амплитуду рассеяния квантованных полей. Вместе с тем Ф. д. позволяет такому вкладу дать наглядную классич. интерпретацию в виде ряда последовательных локальных превращений частиц. Каждому отд. превращению соответствует вершина, внутр. линиям - распространение промежуточной частицы от одного акта превращения до другого (пропагатор частицы), внеш. линиям-волновые ф-ции начальных и конечных частиц, участвующих в процессе.

В качестве примера рассмотрим Ф. д. в квантовой электродинамике (КЭД), к-рая описывает взаимодействие электронов, позитронов и фотонов между собой. В КЭД имеются всего один тип вершин (рис. 1) и два типа линий (рис. 2). Ненаправленная волнистая линия относится к фотону, а направленная прямая - к электрону и позитрону.

В последнем случае распространению осн. частицы (электрона) соответствует движение вдоль линии по направлению стрелки, а распространению античастицы (позитрона)-движение против стрелки.

Каждая Ф. д. имеет неск. интерпретаций в зависимости от направления движения вдоль линий этой диаграммы. Так, для Ф. д., изображённой на рис. 3, допустимы следующие варианты. Первый-движение по линиям слева направо- рассеяние фотона на электроне ( Комптона эффект). В вершине 1 нач. электрон поглощает нач. фотон, при этом образуется промежуточный электрон, к-рый распространяется от вершины 1 к вершине 2. Здесь он излучает конечный фотон и превращается в конечный электрон. Результатом процесса является перераспределение 4-им-пульса (энергии и импульса) между электроном и фотоном. Второй вариант - движение по линиям справа налево- рассеяние фотона на позитроне. Третий вариант - движение снизу вверх - аннигиляция электрона и позитрона с превращением их в два фотона. Четвёртый вариант- движение сверху вниз - рождение электрон-пози-тронной пары при столкновении двух фотонов.

Согласно ПФ, в каждой вершине взаимопревращение частиц происходит с интенсивностью, пропорц. нек-рой константе связи ( константе взаимодействия), и с соблюдением закона сохранения 4-импульса. Вместе с тем релятивистское соотношение между энергией и импульсом (т. н.

массовая поверхность) ( -энергия, Р- обычный трёхмерный импульс, т- масса) выполняется только для начальных и конечных частиц, описываемых внеш. линиями (реальные частицы). Это соотношение нарушается для промежуточных частиц, описываемых внутр. линиями, в связи с чем они наз. виртуальными частицами. Для них и Р могут независимо принимать значения от Поле может быть как однокомпонентным, так и многокомпонентным. В КЭД и фотонное (векторное эл.-магн.) поле, и электрон-позитронное (спинорное) поле имеют по четыре компоненты. Каждая линия в Ф. д. описывает сразу всю совокупность компонент соответствующего поля. В суперсимметричных моделях (см. Суперсимметрия )линия в Ф. д. описывает распространение целого мульти-плета элементарных частиц, к-рые соответствуют разным компонентам одного суперполя.

Тип физ. процесса определяется только теми частицами, к-рые имеются на входе и выходе этого процесса. Поэтому все Ф. д. с одним и тем же набором внеш. линий вне зависимости от своей внутр. структуры соответствуют одному и тому же физ. процессу. Каждая из таких диаграмм вносит аддитивный вклад в амплитуду процесса. Так, помимо диаграммы, изображённой на рис. 3, эффекту Комптона соответствуют, напр., диаграммы, приведённые на рис. 4.

Отличит. чертой этих диаграмм является наличие в них замкнутых циклов (петель), состоящих из внутр. линий. Диаграммы типа рис. 4, а наз. о д н о п е т л е в ы м и, а типа рис. 4, б и рис. 4,в- д в у х п е т л е в ы м и. Беспетлевые диаграммы типа рис. 3 наз. д р е в е с н ы м и. Из всех диаграмм, соответствующих данному физ. процессу, древесные диаграммы имеют наименьшее число вершин. Поэтому в теории возмущений, в к-рой роль малого параметра играет константа связи, древесные диаграммы вносят осн. вклад, а диаграммы с петлями описывают радиационные поправки.

Помимо разложения всех величин в ряд теории возмущений по константе связи используется разложение в ряд по константе Планка h. Оказывается, что вклад Ф. д. пропорционален в степени п, где п- число петель в данной диаграмме. Поэтому в классич. пределе вклад дают только древесные диаграммы.

Кроме амплитуд рассеяния Ф. д. используются для описания Грина функций (в КТП). В обоих случаях структуры диаграмм очень схожи, что отражает тесную связь между ф-циями Грина и амплитудами рассеяния. Существенным отличием является лишь то, что для ф-ций Грина внеш. линиям соответствует распространение виртуальных частиц (вне массовой поверхности).

Согласно ПФ, каждой петле в Ф. д. отвечает интегрирование по 4-импульсу, к-рый может циркулировать в данной петле, не нарушая законов сохранения в вершинах. Нек-рые из этих интегралов расходятся за счёт бесконечного объёма интегрирования ( ультрафиолетовые расходи мости). Существует последовательный метод, называемый процедурой регуляризации и перенормировки, к-рый позволяет избавиться от этих расходимостей. В этом методе формулируются правила, по к-рым нек-рым внутр. блокам (обобщённым вершинам, см. ниже) в Ф. д. ставятся в соответствие определ. матем. операции. С их помощью удаётся скомпенсировать УФ-расходимости (см. Регуляризация расходимостей, Перенормировки).

В выделении обобщённых вершин, используемых в процедуре перенормировок, существенную роль играет следующая классификация Ф. д. Диаграмма наз. с в я з н о й, если из любой её вершины можно попасть в любую другую, перемещаясь по внутр. линиям. В противном случае диаграмма наз. н е с в я з н о й. Диаграмма наз. с и л ь н о с в я з н о й или о д н о ч а с т и ч н о н е п р и в о д и м о й, если она остаётся связной после разрыва любой одной внутр. линии. Разл. совокупности вершин и внутр. линий диаграммы наз. её поддиаграммами. Они имеют ту же классификацию, что и диаграммы. О б о б щ ё н н ы е в е р ш ин ы- это сильно связные поддиаграммы, к-рые подсоединяются к др. частям диаграммы так же, как обычные вершины или внутр. линии. В КЭД три типа обобщённых вершин: собственная энергия электрона (подсоединяется двумя электрон-позитронными линиями), собственная энергия фотона или поляризация вакуума (подсоединяется двумя фотонными линиями), треугольная вершина (подсоединяется двумя электрон-позитронными линиями и одной фотонной).

Специфические особенности имеет диаграммная техника для моделей с неабелевыми калибровочными полями. Это связано с тем, что для их последовательной релятивистски инвариантной формулировки приходится рассматривать помимо физ. компонент калибровочных полей и нефизические. Оказывается, что лишний вклад в наблюдаемые величины от нефиз. компонент можно скомпенсировать вкладом нек-рых "духовых" полей (см. Фаддеева- Попова духи), имеющих неправильную связь спина со статистикой. Соответственно этому помимо диаграмм, описывающих распространение и взаимодействие материальных и калибровочных полей, приходится рассматривать диаграммы, в к-рых фигурируют "духовые" поля. Так, в квантовой хромодинамике помимо вершин, описывающих взаимодействие материальных полей (кварков) с калибровочными полями (глюонами) и глюонов между собой (рис. 5, а и рис. 5, б,5, в), приходится вводить вершины, описывающие взаимодействие глюонов с "духами" (рис. 5, г).

Поскольку для физ. процессов ни в начальном, ни в конечном состоянии "духи" присутствовать не могут, то вклад в амплитуду таких процессов дают только диаграммы, в к-рых нет внеш. "духовых" линий. Однако при рассмотрении выражений, не зависящих от поляризации начальных и (или) конечных калибровочных полей, иногда технически более удобно суммировать по всем компонентам этих полей, а не только по физическим. В этом случае вклад нефиз. компонент может быть скомпенсирован вкладом от диаграмм, в к-рых в начальном и (или) конечном состоянии "духи" присутствуют.

Ф. д. широко используются для анализа аналитических свойств амплитуд рассеяния, в частности для исследования их особенностей (сингулярностей). Иногда это позволяет из всей совокупности диаграмм, отвечающих данному процессу, выделить нек-рую подсовокупность, к-рая вносит осн. вклад.

Метод Ф. д. успешно применяется также в квантовой теории многих частиц, в частности для описания конденсированных тел и ядерных реакций.

Лит.: Фейнман Р., Теория фундаментальных процессов, пер. с англ., М., 1978; Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Квантовые поля, 2 изд., М., 1993; Ициксон К., Зюбер Ж.-Б., Квантовая теория поля, пер. с англ., т. 1-2, М., 1984. Д. А. Славное.

Правила Фейнмана в к в а н т о в о й т е о р и и п о л я - правила соответствия между вкладами определ. порядка теории возмущений в матричные элементы матрицы рассеяния и Ф. д. Регулярный вывод ПФ основан на применении Вика теоремы для хронологических произведений к хронологическим произведениям полевых операторов, через интегралы от к-рых выражаются вклады в матрицу рассеяния. В ПФ центр. роль играют пропагаторы квантовых полей, равные их хронологическим спариваниям, т. е. вакуумным ожиданиям от парных хронологических произведений.

к-рые также равны причинным ф-циям Грина этих полей:

Наряду с пропагаторами iD(x-y), к-рым в Ф. д. соответствуют линии, соединяющие точки x и у, и к-рые полностью характеризуют взаимодействующие поля, ПФ включают элементы, описывающие механизм взаимодействия и отражающие структуру лагранжиана взаимодействия рассматриваемой квантовополевой модели.

Существуют две разновидности ПФ: правила в координатном представлении, на основе к-рых можно сопоставить диаграммы вкладам в S -матрицу, выраженным через операторные полевые ф-ции; более полезными оказываются ПФ в импульсном представлении, к-рые служат непосредственно для построения матричных элементов переходов между физ. состояниями, характеризуемыми наряду с прочими квантовыми числами значениями 4-импульсов частиц. В дальнейшем термином "ПФ" будем называть именно правила Фейнмана в импульсном представлении.

В этом представлении вместо выражений (1), (2) используют их фурье-образы D_a(p), к-рым на Ф. д. соответствуют внутр. линии, по к-рым как бы движутся частицы с импульсом р. Места встречи линий - вершины - описывают взаимодействия частиц. Поэтому, согласно ПФ, вершинам отвечают множители в матричных элементах, передающие структуру лагранжианов взаимодеиствия. В качестве иллюстрации в табл. приведены правила соответствия для квантовой электродинамики в диагональной (иначе фейнмановекой) калибровке эл.-магн. поля. Полный набор ПФ состоит из правил соответствия, приведённых в табл., и следующих общих правил: (7) для построения вклада n -го порядка по е в матричный элемент заданного процесса следует нарисовать все диа-граммы, содержащие ровно п вершин, соединяющие их внутр. линии и заданный набор внеш. линий, определяемый суммарно начальным и конечным состоянием рассматрива-емого процесса. При этом следует иметь в виду, что направ-ления, указанные стрелками на электронных линиях, отвеча-ют движению позитрона против направления стрелок; (8) каждой из этих диаграмм по правилам соответствия из табл. путём перемножения факторов из правой колонки, упорядоченных по движению вдоль электронных линий, ставится в соответствие выражение, к-рое затем должно быть проинтегрировано по 4-импульсам и просуммировано по всем индексам всех внутр. линий; (9) если в диаграмме имеется l замкнутых электронных петель, то всё выражение должно быть умножено на (- 1)^l; (10) если в диаграмме имеется топологическая симметрия k- гoпорядка, т. е. можно переставить k вершин, не изменив топологию диаграммы, то следует добавить множитель (k!)^-1; (11) если в начальном иЛи конечном состоянии имеются тождественные бозе-(ферми-) частицы, то следует провести соответствующую (анти)симметризацию.

Правила Фейнмана для квантовой электродинамики

Выражение, стоящее в строке (1) правил соответствия, отвечает структуре лагранжиана взаимодействия за исключением множителя i, к-рый учитывает тот факт, что вклад п- го . порядка в S -матрицу содержит множитель iⁿ:

Две следующие строчки содержат пропагаторы полей, а затем в правилах соответствия фигурируют вектор поляризаци и фотона e^a(k) и неквантованные дираковские спиноры u(p), u(p), являющиеся решениями свободного Дирака уравнения и отвечающие электронам (и/или позитронам) в начальном и конечном состояниях.

Рис.6.

Пользуясь приведёнными ПФ, получим матричный элемент процесса (т. е. мёллеровского рассеяния электронов) в низшем, втором по е, порядке теории возмущений. Единств. диаграммой оказывается диаграмма, приведённая на рис. 6. Используя введённые на этом рисунке импульсные обозначения, положим, что импульсы электронов в нач. состоянии равны р₁ и р₂, а электроны конечного состояния обладают импульсами -q_l, -q₂ (при этом, разумеется, Используя правила (1), (2), (5), (6) и (8), находим:

Согласно правилу (11), это выражение следует ещё анти-симметризовать по электронам начального и конечного состояний.

Из релятивистской квантовой теории поля метод Ф. д. и ПФ непосредственно переносится в квантовую статистику при нулевой темп-ре и без труда формулируется для теории возмущений при конечной темп-ре.

Лит.:Feynman R. P., Space-time approach to quantum electro-city, "Phys. Rev.", 1949, v. 76, p. 769; Фейнман Р., Квантовая электродинамика, пер. с англ., М., 1964; Биленький С. М., Введение в диаграммную технику Фейнмана, М., 1971; Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Квантовые поля, 2 изд., М., 1993.

Д. В. Ширков.