Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ

ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ТЕОРИЯ

Содержание:

Введение

Группа Пуанкаре

Группа Лоренца

Аберрация света и видимая форма предметовв частной О. т.

Пространство скоростей

Векторы и тензоры в пространстве Минковского498 Спинорные представления группы Лоренца

Структура пространства Мнаковского

Релятивистская механика

Экспериментальные основания частной О. <т.

О. т. - теория, описывающая универс. пространственно-временныесвойства физ. процессов. Поскольку эти свойства справедливы для всех известныхв физике процессов и взаимодействий, об О. т. говорят просто как о физ. <теории пространства-времени.

Введение

Возникновение О. т. связано с неудаченобнаружить движение Земли относительно эфира.X. А. Лоренц (Н. A.Lorentz) и А. Пуанкаре (Н. Poincare) в 1904 - 05 смогли объяснить невозможностьобнаружения этого движения, оставаясь в рамках представления о выделенностисистемы координат, в к-рой эфир покоится. Совр. точка зрения, основаннаяна принципе относительности Эйнштейна, была сформулирована А. Эйнштейном(A. Einstein) в 1905; при этом было исключено понятие механич. эфира. Большойвклад в развитие матем. аппарата теории внёс в 1908 - 10 Г. Минковский(Н. Minkowski), к-рому принадлежит и интерпретация О. т. как геометриичетырёхмерного пространства-времени [1 - 4].

После появления теории тяготения Эйнштейна, <построение к-рой было начато Эйнштейном в 1907 и завершено X. Д. Гильбертом(Н. О. Hilbert) и Эйнштейном в 1915 (первое обобщающее изложение теориибыло дано Эйнштейном в 1916), и её эксперим. подтверждения стало ясно, <что свойства пространства-времени в данной области зависят от действующихв ней гравитац. полей (см. Тяготение). В О. т. рассматривается частныйслучай - свойства пространства-времени в областях, где полями тяготенияможно с желаемой точностью пренебречь; отсюда термин - частная, или специальная, <О. т. (последний термин возник в результате неудачного букв. перевода нем. <слова speziell - частный). Осн. понятие О. т. - событие, под к-рым понимаетсянечто происходящее в данный момент времени в данной точке пространства(напр., вспышка света или совпадение стрелки прибора с делением шкалы).Реальные события имеют конечную протяжённость в пространстве и времени, <поэтому понятие события в О. т. является идеализацией. Опыт показывает, <что применимость этой идеализации очень высока, вплоть до расстояний ~10^-16 см и времён ~10^-26 с.

Предполагается, что потенц. совокупностьсобытий образует четырёхмерный континуум. Каждое событие может быть охарактеризованотройкой действит. чисел, определяющей его пространств. положение, и ещёодним действит. числом, определяющим момент времени, в к-рый это событиепроисходит. Предполагается, что пространство-время непрерывно, т. е. любойтакой четвёрке чисел в нек-рой области числового пространства может бытьпоставлено в соответствие нек-рое событие и близким событиям отвечают близкиечетвёрки чисел.

Области пространства-времени, где справедливачастная О. т., характеризуются тем, что в них могут быть введены локально инерциальные системы отсчёта (и. с. о.), в к-рых свободные от внеш. <воздействий точечные тела и импульсы света движутся прямолинейно и равномерно. <В реальной Вселенной гравитац. поля глобально не устранимы и присутствуютвсюду. При наличии таких полей условия, требуемые для введения и. с. о.,не выполняются, в частности ни точечные тела, ни импульсы света не движутсяпрямолинейно. Однако в тех областях, где эти поля однородны, можно, в силу эквивалентности принципа, ввести падающие свободно и без вращениясистемы отсчёта, в к-рых эти поля исчезают. Такие системы отсчёта и являютсяинерциальными. Любая система отсчёта, движущаяся равномерно и без вращенияотносительно данной и. с. о., также является инерциальной. В и. с. о. справедливаевклидова геометрия для пространства. Утверждение о равномерности движенияпредполагает определённый выбор синхронизации часов в разных точках и. <с. о. (см. ниже).

Пример и. с. о. - система отсчёта, связаннаяс искусств. спутником Земли, стабилизированным относительно вращения спомощью гироскопа. В такой системе отсчёта не действуют ни гравитац. полеЗемли, ни поля Солнца и Галактики в той степени, в какой эти поля однородныв масштабе спутника. Если рассматривать систему отсчёта, связанную с Землёй, <то она уже не будет инерциальной как из-за вращения Земли, так и из-запоявления в ней собств. гравитац. поля Земли. Однако на расстояниях, большихпо сравнению с размерами области, где гравитац. поле Земли велико, но малыхпо сравнению с расстоянием до Солнца, систему отсчёта, связанную с Землёй, <можно считать инерциальной, т. к. Земля свободно падает в гравитац. полеСолнца.

Практически вопрос о том, можно ли даннуюсистему отсчёта считать инерциальной, зависит от характера производимогоопыта и требуемой точности. Так, при выполнении большинства оптич. опытовсистема, связанная с Землёй, может считаться инерциальной даже на поверхностиЗемли; то же относится к экспериментам в физике элементарных частиц. Сдр. стороны, камень, брошенный вблизи Земли, не движется прямолинейно иравномерно, и для него эта система отсчёта не инерциальна. Характернымпараметром, определяющим возможность введения и. с. о., является отношение где - изменениегравитац. потенциала в рассматриваемой области. Напр., при измерении Доплераэффекта в области измерения должно быть мало по сравнению с величиной v/c, где v - скорость источника, с - скорость света.

В области, где справедлива частная О. <т., можно ввести и неиперц. системы отсчёта, в к-рых свойства пространства-временинужно описывать с помощью аппарата общей теории относительности. В этомслучае условие применимости частной О. т. имеет вид = 0, где - тензор Римана ( кривизны тензор), или более точно ,где l₁, l₂ - характерные для данногоопыта длины. При условии = 0 всегда можно ввести совокупность и. с. о. Если условие при линейном законе изменения характеризует неинерциальность, к-рая может быть устранена переходом вдр. систему отсчёта, то мера отклонения от нуля определяет, насколько пространство-время в данной области искривленонеустранимым образом.

Обычно под частной О. т. подразумеваютописание явлений с помощью и. с. о. После того как и. с. о. выбрана, необходимозадать метод определения в ней времён и координат событий. Т. к. в инерц. <системах в частной О. т. справедлива евклидова геометрия, то для определениякоординат событий можно пользоваться декартовыми координатами х¹,х², х³, или х, у,z, где х, у, zизмеряются стандартным жёстким масштабом в ортогональнойдекартовой системе координат. Три координаты х, у, z объединяютсяв трёхмерный вектор r (или х). Время t в данной точке r измеряют любым механизмом, совершающим периодич. движение, т. <е. периодически возвращающимся в данную конфигурацию. Тогда число периодови есть время t. Предполагается, что часы во всех точках пространстваи во всех и. с. о. одинаковы. В совр. метрологии осн. единицы для измерениядлины и времени выбираются с помощью оптич. явлений (число световых волнстандартного излучателя и число атомных колебаний стандартного атома длязаданных переходов).

Для полного задания системы отсчёта необходимоопределить метод сравнения времён событий, происходящих в разных местах. <Опыт показывает, что в и. с. о. пространство изотропно; никаким опытомнельзя выделить физически предпочтительное направление. Естественно выбратьтакую синхронизацию часов, находящихся в разных точках A, В, чтобы не нарушалась эта изотропия. Стандартное определение в частнойО. т. таково. Пусть в момент t₁ из точки . в точку В посылается сигнал (световой импульс, акустич. импульсв среде, находящейся в данной и. с. о., выстрел и т. д.). После прибытиясигнала в В идентичный сигнал посылается из В в А,где принимается в момент времени t₂. Тогда, по определению, <время прибытия сигнала в В есть t = (t_l +t₂)/2; иначе говоря, предполагается, что времена распространениясигнала из А в В и из В в А одинаковы. Двасобытия считаются одновременными (синхронными) в данной и. с. о., есливремена t для них совпадают. Приведённые определения задают в даннойи. с. о. L пространственно-временную координату х, у, z,t. Хотя в действительности область, охватываемая данной и. с. о. L,конечна, удобно допустить идеализиров. ситуацию и предполагать, что всеперечисл. переменные меняются от -до +.

Теоретически можно допустить Вселенную, <в к-рой массы и поля тяготения занимают малую область, а в осп. пространстведействует частная О. т., однако в реальной Вселенной эта возможность нереализована.

Группа Пуанкаре

В области применимости частной О. т. пространство-времяобладает высокой степенью симметрии: все физ. явления инвариантны относительнособств. преобразований Пуанкаре, оставляющих инвариантной метрику пространства-времени Минковского. Последняя определяется квадратом интервала s²,к-рый для двух событий с координатами х ₁, y_l,z_l, t₁ и х ₂, y₂,z₂, t₂ имеет вид:

s² = c²(t₁- t₂)² - (x₁ - x₂)²- (y₁ - y₂)² - (z₁- s₂)². (1)

Пространство-время с такой метрикой наз. Минковского пространством-временем.

Обычно используется сокращённая запись:вводятся четырёхмерный вектор х с компонентами = 0, 1, 2, 3): x⁰ = ct, х ¹= х,x² = y, x³ = z, метрический тензор к-рый диагоналей и имеет компоненты [или = diag (1, - 1, - 1, - 1)], и эйнштейновское правило суммирования, согласнок-рому по совпадающим верхнему и нижнему индексам всегда предполагаетсясуммирование (по греч. индексам суммирование проводится от 0 до 3). В такойзаписи

Если рассматриваются преобразования Пуанкаре, <при к-рых любое событие А с координатами x, y, z,t переходит в событие В с координатами то такие преобразования наз. активными.

Собств. преобразования Пуанкаре определяютсякак линейные преобразования вида

непрерывно связанные с тождественным (единичным)преобразованием. Здесь - матрица размерности 4 x 4,- произвольный 4-вектор. Из инвариантности s² относительнопреобразований (3) следует

и Из условия непрерывной связи с единичным преобразованием = где - Кронекера символ =diag (1, 1, 1, 1)], следует, что

Инвариантность законов физики относительнопреобразований Пуанкаре означает, что если возможна последовательностьсобытий Е:...,..., где - 4-координаты n -го события, то возможна и последовательность ...,..., где и связаныпреобразованием (3). Др. словами, законы физики таковы: если последовательность Е допустима и описывает нек-рый физ. процесс, то это же справедливои для последовательности Подчеркнём, что координаты и измеряютсяв одной и той же системе отсчёта; последовательности Е и - это две разные последовательности событий, связанные активными преобразованиями, <но в то же время по своей внутр. структуре они неразличимы. Это, в частности, <означает, что если два события Е _п, Е_k совпадают, <то совпадают и события Ситуацияаналогична ситуации в геометрии Евклида, где группа активных преобразованийпространства переводит тело из одного положения в другое, не изменяя еговнутр. структуры.

Подвергнем теперь преобразованию Пуанкаресаму систему L, к-рая перейдёт в систему L' с такими же, <как в L, часами и масштабами. Т. к. измерение есть нек-рое событие, <соответствующее фиксации совпадений отсчёта часов и делений на линейкахс нек-рым событием в L, то условие сохранения совпадений означает, <что 4-координаты события в L' и 4-координаты события Е _i в L совпадают:

Если ввести преобразование, связывающеекоординаты события в L' и координаты того же события в L - (такие преобразования наз. пассивными), то оно будет иметь вид

где свойства и такиеже, как и для активного преобразования.

Преобразования Пуанкаре ( Р )образуют группу. Как известно, условия того, что нек-рая совокупность элементовобразует группу, следующие, а) Для любых двух элементов Р₁ и Р₂ определено произведение P₁P₂.В случае преобразований Пуанкаре (активных) произведение определяется какрезультат последоват. выполнения преобразования Р₂ изатем Р₁. Из условия = 1 следует разрешимость (3) относительно б) Операция умножения ассоциативна: Р₁( Р₂ Р₃)= ( Р₁ Р₂) Р₃. Для преобразованийПуанкаре ассоциативность очевидна, т. к. если Р₃ переводитобъект А в B, Р₂ - В в С и P₁ - С в D, то, по определению, ( Р₂ Р₃ )переводит А в С и Р ₁ - С в D; соответственно Р₁( Р₂ Р₃) - А в D. Аналогично ( Р₁ Р₂) - В в D и ( Р ₁ Р ₂ )Р ₃ такжепереводит А в D. в) Существует единица группы I такая, <что IP=PI=Р. Это выполняется, если , = 0.г) Для любого Р существует обратное преобразование Р^-1 такое, что РР^-1 = Р ^-1 Р = I. Последнееочевидно, т. к. вследствие того, что = 1, соотношение (3) может быть разрешено относительно

Группа Пуанкаре содержит в качестве подгруппыгруппу сдвигов во времени и в пространстве. Физически это означает, чтов любой и. с. о. опыт, проведённый в др. время или в др. месте, даёт тотже результат (если установка изолирована от внеш. воздействий). Из группыПуанкаре можно выделить подгруппу трёхмерных вращений и сдвигов:

где лат. буквами (i, k =1,2,3) обозначены пространств. индексы. Инвариантность относительно преобразований(7) означает, что в любой и. с. о. пространство однородно и изотропно.

Преобразования (3) содержат также преобразования, <наз. бустами. При таких преобразованиях покоящаяся в L точка ( х'=const) переходит в точку, движущуюся со скоростью v, а точка, <движущаяся в L со скоростью v', переходит в точку, движущуюсясо скоростью v", соответствующей релятивистскому закону сложенияскоростей (см. ниже). В отличие от подгруппы (7), бусты подгруппы не образуют. <Группа Пуанкаре содержит 10 независимых параметров. Коэф.или с учётомусловия (4) содержит шесть независимых параметров, а четыре сдвига произвольны.

Инвариантность s² относительнопреобразований группы Пуанкаре означает, в частности, инвариантность ур-ния s² = 0. В свою очередь это означает инвариантность скоростисвета относительно всех преобразований, перечисленных выше (в действительности, <согласно частной О. т., со скоростью света движется любая безмассовая частица).В частности, скорость света не изменяется при движении источника. (Событием Е может служить испускание света движущимся источником.) Этот фактявляется одной из основных черт О. т.

Возможность реализации в L и L' последовательностей событий с одинаковыми координатами относительноэтих и. с. о. наз. принципом относительности Эйнштейна. Он означает, чтозаконы природы должны иметь одинаковый вид во всех и. с. о. Для наблюдателейв L и L' соответственно процессы Е и выглядят совершенно одинаково, это наиб. наглядно отражает утверждениео тождественности их внутр. структуры. Если не требовать выполнения условиянепрерывного перехода от матриц к единичной I, то наряду с перечисленными выше преобразованиями, <приводящими к принципу относительности Эйнштейна, появятся также дискретные, <или несобственные, преобразования t- t (обращение времени )и r- r (пространственная инверсия). Инвариантность относительно этихпреобразований в природе нарушается слабым взаимодействием. Не соединяетсянепрерывно с I также преобразование Инвариантность относительно такого преобразования имеет место, если дополнитьего заменой всех частиц на античастицы. Это является общим следствиемквантовой теории поля ( теорема-СРТ).

Группа Лоренца

Группой Лоренца (в математике её наз. собственнойгруппой Лоренца) наз. подгруппа группы Пуанкаре, образуемая преобразованиями(в случае пассивных преобразований) вида

по-прежнему сохраняющая s² и с матрицей непрерывно связанной с единичной матрицей I. Т. к. пространствоМинковского, образуемое точками однородно, то выделение начала координат в (8) не является ограничением. <Общий случай выбора преобразования (8) соответствует переходу к системеотсчёта, движущейся с пост. скоростью v и с осями, повёрнутыми произвольнымобразом. Очевидно, что он может быть сведён к след. последовательностипреобразований: 1) такому повороту исходной системы осей, чтобы ось х ¹= х совпадала с направлением v; 2) переходу к системеотсчёта с осями х'. y', z', параллельными осям x, у, z системы L, движущейся со скоростью v;3) произвольному повороту осей x, y, z. Число параметровпреобразования равно при этом 6; это совпадает с тем, что матрица удовлетворяет условию матрица 4 x 4, det=1). Преобразования к параллельным осям, движущимся с произвольной скоростьюо, являющиеся пассивным аналогом бустов, не образуют подгруппы Лоренца, <но преобразования относительно фиксиров. направления движения образуют. <Выберем в качестве направления движения ось x¹. В этомслучае координаты х², x³ не преобразуются:(x²)' = x², (x³)'= х ³. Выберем в (1) в качестве точки 1 начало координат. <Тогда условие инвариантности интервала будет иметь вид

s² = (x⁰)²- (x¹)² - (x²)²- (x ^З)² = (s')²

и s² инвариантен относительно(8). В случае движения по оси х ¹ условие инвариантностисводится к требованию инвариантности выражения ( х ⁰)²- (х ¹)² с очевидным решением:

где =v/c, и соответственно обратным преобразованием:

Множитель имеет стандартное обозначение (1). С точкизрения инвариантности s²,может быть произвольным параметром, -1 < b< 1. При = 1 возникает сингулярность, а затем преобразование становится мнимым, <что является одним из выражений недопустимости в частной О. т. скоростей, <больших скорости света.

Полагая в (10) ( х ¹)'=0 (начало координат), имеем х ¹- (v/c)x⁰=0, т. е. (т. к. х ⁰ = ct) v есть скорость движения L' относительно L.

Из ф-л (9) и (10) вытекают два осн. классич. <следствия частной О. т. При измерении в L длины стержня l, покоящегося в L', естественно считать его длиной в L разностькоординат концов, измеренных в одно и то же время в L. Тогда (пользуясьобозначениями х, у, z для координат) имеем для точек А, В стержня

или

где (по определению) - длина покоящегося в L стержня, наз. его собственнойдлиной. Т. о., движущийся вдоль своей длины отрезок сокращается в раз;это сокращение наз. сокращением Лоренца - Фитцджеральда. Соответственново столько же раз сокращаются все продольные (вдоль движения) размеры движущегосятела. Подчеркнём, что речь идёт именно об определённой процедуре измеренийи вопрос о видимой форме тела в частной О. т. нуждается в отд. рассмотрении. <Для равномерных прямолинейных движений эффект сокращения относителен; наблюдательв L' измерит при аналогичной ситуации сокращение масштаба в L. Однако это несправедливо для непрямолинейного движения. Представимсебе очень большое число стержней, уложенных кольцом внутри обода длины Тогда при l₀R. число стержней, к-рые могут быть уложены по ободу, равно Если же стержни быстро скользят вдоль обода, то сокращение Лоренца - Фитцджеральдаприведёт к тому, что окажется возможным уложить стержней. Т. о., сокращение Лоренца - Фитцджеральда есть нек-рое объективноесвойство геометрии пространства-времени Минковского (т. е. свойство пространства ,описываемое группой Пуанкаре).

Рассматривая часы, помещённые в L' в начале координат, получаем

т. е. движущиеся часы с точки зрения наблюдателяв L отстают. Так же как и для длин, эффект симметричен: для наблюдателяв L' отстают часы в L. Симметрия связана с характером постановкиопыта; одни движущиеся часы сравниваются с покоящейся синхронизиров. цепочкойчасов в др. системе отсчёта. В случае, если часы движутся по замкнутойтраектории, эффект становится абсолютным. Если часы движутся в течениевремени Т из А в В, апотом обратно из . в А с той же скоростью, то с той точностью, с к-рой можно пренебречьвременем поворота и действием ускорения (а это всегда возможно, если . достаточно велико по сравнению с временем поворота), по часам наблюдателяв А пройдёт 2 Т единиц времени, а по двигавшимся часам Этот эффект, часто называемый парадоксом близнецов, абсолютен. В действительностиникакого парадокса нет, поскольку система отсчёта, связанная с часами, <перестаёт быть инерциальной во время поворота.

Из инвариантности интервала следует, чтов общем случае движущиеся часы, проходящие за время dt расстояние dl, покажут величину интервала поскольку в сопровождающей их системе отсчёта они покоятся. Отсюда следует

где dl - пройденный отрезок, или

Соответственно время, измеренное часами, <движущимися по нек-рой траектории АВ, равно след. интегралу по траектории, <по к-рой движутся часы В:

Этот же результат ложно записать в виде

где интеграл берётся по траектории часов. <Из (15) видно, что движущиеся часы всегда отстают от неподвижных. Так жекак и в рассмотренном выше частном случае, справедливость (15) требует, <чтобы ускорения были достаточно малы и не оказывали действия на ход часов. <Из (9) следует закон сложения скоростей. Для частного случая, когда телодвижется в L' параллельно оси х со скоростью V', имеемдля скорости тела в L

где v - скорость L' относительно L. Если рассматривать ф-лу (16) как активное преобразование, тоона описывает буст точки, имевшей первоначально скорость V'. Изэтой ф-лы сразу видна независимость скорости света от движения источника:при V' = с получаем V= с. Из неё также следует ф-лаФренеля частичного увлечения света источником. Если свет распространяетсяв среде с показателем преломления п, движущейся со скоростью v,то V' = с/п и для скорости света в лаб. системе L имеем

Аберрация света и видимая форма предметовв частной О. т.

Пусть система L' (с осями, параллельнымиосям системы L) движется параллельно оси х системы L соскоростью v и пусть в L' движется импульс света под углом к оси х'. Без ограничения общности можно считать, что импульс движетсяв плоскости х'у' и в момент t' =0находится в точке х = у' =0. Из преобразований Лоренца получаем Моменту времени t' соответствует в L время

и за это время импульс в L пройдётпуть l = ct. Отсюда для угла луча (соответствующего рассматриваемомуимпульсу света) с осью х и L получаем

Т. о., движущийся наблюдатель видит объектв др. направлении, чем неподвижный наблюдатель.

Если объект наблюдается под малым телеснымуглом, то изображение предмета, видимое движущимся наблюдателем, сохраняетсвою форму, но оказывается повёрнутым; если наблюдатель в L видитпокоящийся в L' предмет под углом то изображение, к-рое он получит на мгновенной фотографии, будет соответствоватьизображению в L' на снимке под углом (в L' изображение, очевидно, не зависит от момента снимка). Действительно, <пусть импульсы света 1' и 2' в L' дают изображение в L' вмомент t'. Пусть S₁ и S₂- их положения в момент t в L. В системе L' имсоответствует разное время и Квадрат интервала между S₁ и S₂ равен

где l' - трёхмерное расстояние между S₁ и S₂, равное r' - расстояние между лучами 1' и 2'. Т. о., s²= -(r'}². В системе L t₁ = t₂,фронт волны перпендикулярен к направлению лучей 1 и 2 и s²= - r², где r - расстояние между лучами в L. Т. к. s - инвариант, то r² = (r')²,что и доказывает сделанное выше утверждение. Более подробно вопрос о видимыхизображениях рассмотрен В. Вайскопфом (V. Weisskopf) и В. Риндлером (W.Rindler) в 1977. Это явление не противоречит, разумеется, сокращению масштабов, <описанному в предыдущем разделе, т. к. там речь шла о мгновенных измерениях, <здесь же решающую роль играет запаздывание импульсов, идущих от разныхточек тела.

Пространство скоростей

Пространством скоростей в частной О. т. <называется пространство, каждой точке к-рого соответствует частица, движущаясяс данной скоростью v, а квадрат расстояния для двух бесконечно близких точек Р, Q равен квадрату ихотносит. скорости, измеренной по часам в Р и Q. Первое утверждениепредполагает введение нек-рой системы отсчёта и в этом смысле координатно-зависимо, <второе имеет абс. смысл. Удобно ввести след. параметризацию. Для коллинеарныхскоростей, как следует из преобразований Лоренца, справедлив закон сложенияскоростей (здесь и ниже будем полагать с= 1, что приводит к существ. <упрощению ф-л):

где v_i - скорость точки1 относительно начала отсчёта 0, v₂ - скорость точки2 относительно точки 1 и r₀₂ - скорость точки 2 относительно0. Эта ф-ла была получена выше для движения частицы по оси х, но, <очевидно, справедлива всегда, если движение происходит по одной прямой. <Введём параметр такой, что Тогда (18) принимает вид

т. е., в отличие от скорости, параметр аддитивен:

При откуда следует, что если в пространстве скоростей ввести в качестве радиальнойкоординаты параметр то для двух точек, движущихся в одном направлении, квадрат расстояния впространстве скоростей равен

Для точек Р и Q, движущихсяс равными по модулю скоростями, образующими угол ,расстояние между ними, если они движутся из одной точки, растёт как во времени покоящейся системы отсчёта. Т. к. dt связано с собств. <временем для Р, Q соотношением то

Очевидно, что относит. скорость не зависитот нач. условия (совпадения Р и Q).

В бесконечно малой окрестности точки . пространства скоростей действует закон параллелограмма скоростей Ньютона. <Поэтому и, следовательно, в случае движения в заданной плоскости

Как известно, такая метрика есть метрикаплоскости Лобачевского. Это - двумерное пространство с постоянной гауссовойкривизной К = -1.

Аналогично, трёхмерному случаю соответствуеттрёхмерное пространство Лобачевского. В пространстве Лобачевского, какво всяком пространстве с заданной метрикой, можно ввести параллельный перенос. Геодезические линии, образуемые параллельным переносом, по определению, <есть прямые в этом пространстве. Т. к. в любой его точке в малой окрестностидействует ньютонов закон сложения скоростей, то в этой окрестности параллельныйперенос означает сохранение направления скорости, а если переносится какой-тодр. вектор, то он должен сохранять угол с направлением скорости. В частности, <параллельному переносу из О в А ( В )координатных осейсоответствует чисто лоренцево преобразование (без вращения) к системе отсчёта, <движущейся со скоростью v₁(v₂) (рис.1). Параллельный перенос вдоль геодезической АВ даёт чисто лоренцевопреобразование от А к В. При этом из-за кривизны пространствасистема, полученная последовательностью переходов ОА, АВ, повёрнута(на угол )относительно системы, полученной переходом ОБ. Это отражает тотфакт, что чисто лоренцевы преобразования не образуют группы. Аналогичноможно убедиться, что они не коммутируют между собой.

Рис. 1. Система у'х' полученаиз ух параллельным переносом по АВ.

Неевклидовость пространства скоростей непосредственноответственна за явление, наз. томасовской прецессией [Л. Томас (L. Thomas),1926]. Если физически реализованный вектор - ось гироскопа или спин частицы- связан с системой, движущейся ускоренно, а рассматриваемый вектор неиспытывает воздействия к.-л. сил, то он переносится параллельно вдоль годографаскорости, и т. к. пространство имеет кривизну, он прецессирует. Для вычисленияэтой прецессии удобно ввести сопутствующую систему координат, получающуюсяпараллельным переносом из О в Р. При движении из Р в Р' вектор переносится параллельно и по отношению к сопутствующимосям оказывается повёрнутым на угол = KS_OPP', где К = -1, S_OPP' - площадь ОРР', что даёт

В случае движения по окружности, когда =const, для угл. скорости томасовской прецессии имеем

где - угл. частота. В нерелятивистском пределе Это выражение используется при расчёте тонкой структуры в атомной физике.

С помощью аппарата четырёхмерных векторов, <описанного в след. разделе, легко получить для относит. скорости v₁₂ точек, движущихся со скоростями v₁ и v₂,образующими угол ф-лу

или

Ф-ла (24) является аналогом ф-лы косинусовсферич. тригонометрии для пространства Лобачевского.

Векторы и тензоры в пространстве Минковского

Для построения инвариантных и ковариантныхвыражений в частной О. т. используется тензорный аппарат в пространствеМинковского. Простейшей величиной, следующей за скаляром, является контравариантныйчетырёхмерный вектор. Таковым является, в частности, 4-вектор с компонентами х⁰ = t, x¹ = x, x²= у, х ³= z. Закон преобразования для него заданф-лами (8). Произвольный 4-вектор ,преобразующийся по ф-лам (8), наз. контравариантным. Квадрат его длины является инвариантной величиной.

Матрицы и связанысоотношением

где

Наряду с контравариантными компонентамивектора можно ввести ковариантные (часто говорят просто о ковариантных векторах)Для любых 4-векторов А, В можно определить скалярное произведение

инвариантное относительно преобразованийЛоренца. Произвольный тензор ранга п + m с п контравариантными и m ковариантнымииндексами определяется законом преобразования:

Из определения следует, что он является инвариантным [переходящим сам в себя при преобразовании(27)] тензором второго ранга (то же относится к ).

Из свойств преобразований Лоренца следует, <что ранг тензора может быть понижен на 2:свёртыванием (суммированием) по произвольной паре верхних и нижних индексов.

Примерами 4-векторов являются 4-импульссистемы 4-потенциал эл.-магн. поля и др. Четырёхмерные векторы классифицируются по их поведению относительнонесобств. преобразований Лоренца: полярные векторы меняют знак пространственныхкомпонент, а временная компонента не изменяется; аксиальные векторы ведутсебя противоположным образом. Аналогичная классификация применяется и поотношению к величинам, инвариантным относительно преобразований Лоренца:они делятся на скаляры и псевдоскаляры.

Примером тензоров может служить тензорэнергии-импульса и тензор эл.-магн. поля .Тензоры второго ранга могут быть симметричными и антисимметричными, для к-рых соответственно Тензор является примером тензора первого типа,- второго.

Рассматривая кинематику точки, движущейсяпо произвольной траектории под действием внеш. сил, удобно ввести в качествепараметра точки Р величину где интеграл берётся по траектории частицы от произвольной точки А,тогда В том случае первая производная по s даёт вектор четырёхмерной скорости

Т. к.то

i = 1,2,3,

Учитывая, что и деля это выражение

на ds², получаем

Т. о., квадрат длины равен 1. Инвариантное ускорение определяется как

Из (31) следует, что

т. е. четырёхмерное ускорение ортогональнок 4-скорости.

Операции дифференцирования и интегрированияв частной О. т. могут быть представлены в ковариантном виде. Взятие частнойпроизводной по повышает ранг тензора на единицу с появлением ковариантного индекса (простейший пример - вектор где - скаляр).

В четырёхмерном мире Минковского возможныодномерные многообразия - линии, двумерные - поверхности, трёхмерные -гиперповерхности и четырёхмерные - объёмы. По всем ним могут производитьсяоперации интегрирования. Инвариантная форма интеграла по линии может иметьвид или

Элементом двумерной поверхности являетсятензор - соответственноинвариантный интеграл возникает при интегрировании с антисимметричным тензором. <Элемент гиперповерхности, построенный на 4-векторах dx(1), dx(2), dx(3 )(где числа в скобках нумеруют 4-векторы), имеет вид детерминанта

и является тензором третьего ранга. В этомслучае удобно ввести полностью антисимметричный тензор такой, что = 1, а при каждой перестановке индексов знак меняется. Этот тензор инвариантенпри собственных преобразованиях Лоренца (но меняет знак при замене t- t или r- r). С его помощью объёму гиперповерхности можно поставить в соответствиевектор Для случая, когда гиперповерхность - пространственная область с t =0, у отлична от нуля только компонента ds₀, а если dx(1),dx(2), dx(3 )направлены по осям х, у,z, то

ds₀ =dxdydz = dx^ldx²dx³,

т. е. ds₀ равна элементутрёхмерного объёма. Элемент четырёхмерного объёма может быть представленв виде либо = dx⁰ dx¹ dx² dx³, т. <е. он является четырёхмерным скаляром. Так же как в трёхмерном пространстве, <в четырёхмерном пространстве существуют теоремы Гаусса и Стокса, напр.

Спинорные представления группы Лоренца

Из 4-вектора х ⁰, х¹, х ², х ³ можно составить эрмитову матрицу

Детерминант этой матрицы представляет собойинтервал (x⁰)² - (х ¹)²-( х ²)²- ( х ³)². Еслиумножить М справа на произвольную унимодуляриую матрицу (матрицус детерминантом единица) К, а слева на эрмитово сопряжённую . матрицу К ⁺ ( М' = K+ МК), то очевидно, что этопреобразование сохраняет как эрмитовость, так и детерминант матрицы М. Действительно, ( М')⁺ = (К ⁺ МК)⁺= К ⁺ МК = М',det М' = det К⁺det Мdet К = detМ.

Т. о., если записать матрицу М' ввиде

то получим s² = (s')²,т. е. преобразование, принадлежащее группе Лоренца. Очевидно, что так построенныепреобразования образуют группу. Можно показать, что каждому собств. преобразованиюЛоренца соответствуют две и только две матрицы К, отличающиеся лишьзнаком. Возможность найти для каждого преобразования Лоренца подходящуюматрицу К следует, по существу, из того, что унимодулярная матрицазависит от стольких же параметров, что и группа Лоренца, а неоднозначностьв знаке матрицы К очевидна. Если ввести двух-компонентную величину преобразующуюсяпри преобразованиях Лоренца с помощью матрицы К, то получится новыйвид представления группы Лоренца - спинорный. Он возникает естественнопри построении Дирака уравнения, описывающего частицы со спином ¹/₂ в квантовой теории поля.

Структура пространства Минковского

Из ф-л (9) и (10) следует, что в частнойО. т. время события не является абс. величиной: события, происходящие вразных точках, будут иметь разные времена в различных и. с. о., даже еслиони были одновременны в исходной системе отсчёта. Если |x _А- x _В|>|t _А - t _В|,(33) то временной порядок событий А, В может меняться припереходе от системы L к системе L'. В этом нет логич. противоречия, <если скорость света является предельной для распространения сигналов ивзаимодействии, т. к. тогда при выполнении условия (33) события А и В не могут быть причинно связаны. Напротив, если | х _А- х _В||t_A- t_B|, возможна причинная связь между А и В, нов этом случае порядок событий не меняется. (Однако если бы существоваличастицы, движущиеся со скоростью, большей скорости света, - т. н. тахионы, то порядок причинно связанных событий мог бы быть разным в разных системахотсчёта. Это приводило бы к серьёзным затруднениям с причинностью, т. к. <наблюдатель в L' мог бы "уничтожить" событие А, к-рое в . порождает событие В, и причинная связь нарушилась бы. Попыткипереинтерпретпровать теорию тахионов так, чтобы она стала непротиворечивой, <не привели к успеху.)

Невозможность движения сигналов со скоростью, <большей скорости света, не означает, что в частной О. т. вообще невозможныдвижения со сверхсветовой скоростью. Такие движения могут быть реализованы, <напр., как движение "зайчика" от прожектора, но в этом случае взаимодействиеи причинная связь между разными точками траектории "зайчика" отсутствуют.

Инвариантная запись (33), справедливаяв любой системе отсчёта, имеет вид Такие интервалы наз. пространственноподобными. В подходящей системе отсчётасоответствующий им 4-вектор АВ может быть представлен в виде (0,r). Условие определяет времениподобные интервалы; соответствующий вектор может бытьпредставлен в виде (t,0), и время t - это время, отсчитанноечасами, движущимися по прямой АВ. Ур-ние s² = 0 соответствуетпрямой, являющейся траекторией светового луча или любой безмассовой частицы. <Относительно любой точки О трёхмерное многообразие, наз. световымконусом или световой гиперповерхностью, на к-рой лежат все световыелучи, проходящие через О, разбивает пространство на две области:

Если принять О за начало отсчёта, <то в силу того, что собств. преобразования Лоренца не меняют направлениявремени внутри светового конуса и на нём самом (34а), световой конус изаключённый внутри него объём можно разбить на части, соответствующие .t <0, наз. верхней и нижней полами. Часть t>0,, соответствует событиям, на к-рые О может оказать причинное воздействие, <или точкам, в к-рые может прийти сигнал из О; это абс. будущее для О. Соответственно, события, относящиеся к нижней поле, - совокупностьвсех событий, к-рые О может увидеть, или тех, к-рые могут оказатьна неё причинное действие. Т. о., эта пола - абс. прошлое для О. Всетраектории тел и лучей, приходящих в О, должны принадлежать нижнейполе t< 0,Соответственно, все лучи света и траектории тел, выходящих из О,принадлежат верхней поле и образуют абс. будущее для О.

Совокупность точек, связанных с О векторами(0, х, у, z) в системе отсчёта L, где точкипо оси времени имеют вид (t,0), т. е. в системе, где ось временипроходит через О, очевидно, соответствует гиперповерхности, ортогональнойк оси времени в метрике Минковского. Она состоит из событий, одновременныхс О и образующих трёхмерное евклидово пространство. Такое пространствоможно построить для любой точки на осп времени. Телам, покоящимся в этомпространстве, отвечают прямые мировые линии, параллельные оси времени.

Траектории любого тела, движущегося прямолинейнои равномерно в системе L и проходящего через О при t=0, можио принять за временную ось системы отсчёта L', связаннойс L преобразованием Лоренца. Единичный вектор e_t, направленный по оси времени, всегда удовлетворяет инвариантному условию

Для оси t он имеет вид (1, 0, 0,0), а произвольный вектор, направленный по этой оси, есть te_t= (t,0, 0, 0). Для оси t' единичный вектор е'_t равен скомпонентами соответственно, произвольный вектор, направленный по t', имеет вид t'u = (t',t'). Совокупность всех векторов, ортогональных оси t' в заданнойточке, образует пространство системы L', и события, лежащие в нём. <одновременны в L'. Если в данной точке t' в этом пространствепостроить оси х', y', z', то они образуют полный набор координатв L'. Ось х' можно поместить в плоскость tt' (рис.2), тогда единичный вектор, направленный по x', будет иметь вид е' _х (0,0); в метрике Минковского он ортогонален е' _х.

Отсюда сразу вытекают эффекты измененияинтервалов времени и пространства при переходе от L к L'. Промежутоквремени t' в L' имеет временную компоненту в L, равную временнойкомпоненте вектора t'е'_t,что даёт или

Соответственно, чисто пространственныйотрезок АВ длины l₀ в L описывает в миреМинковского полосу, показанную на рис. 3; точки пересечения её границ сосью х' одновременны с точки зрения L' и, следовательно, <определяют длину l отрезка АВ вдвижущейся сиcтеме. <Но l₀ - это компонента вектора пооси x, т. е.или

Релятивистская механика

Для всех известных в частной О. т. классич. <полей и частиц ур-ния движения могут быть получены из условия равенстванулю вариации действия:

Величина S являетсячетырёхмернымскаляром и может быть представлена в виде

где L - плотность ф-ции Лагранжа(лагранжиан). Для свободной материальной точки массы m

Условие экстремума даёт

Величина наз. 4-импульсом частицы.

Релятивистская инвариантность требуетинвариантности действия для замкнутой системы относительно группы Пуанкаре. <Инвариантность относительно подгруппы сдвигов приводит, в силу теоремыНётер, к четырём законам сохранения:

конкретный вид тензора определяется видом L. Легко показать, что всегдаможет быть приведён к симметричному виду. Из (40) следует существованиечетырёх сохраняющихся величин:

где интеграл берётся по трёхмерной гиперповерхности. <Величины образуют 4-импульс; компонента Р° - энергия системы, Р ⁱ(i=1, 2, 3) - компоненты её импульса. При интегрировании в (41) можновзять любую гиперплоскость или даже искривлённую пространственноподобнуюгиперповерхность, делящую мир Минковского на две части. Выбирая в качествегиперповерхности гиперплоскость х⁰= const, получаем

и

Вектор времениподобен, поэтому всегда можно систему отсчёта, в к-рой определеноинтегрирование в (42), выбрать так, что Р ⁱ =0. Эту системуназывают системой покоя для рассматриваемого тела. В ней, по определению,4-скорость тела равна (1,0). Введём массу тела, определив её в системепокоя как

Отсюда следует, что в системе покоя

В силу релятивистской инвариантности этосправедливо в любой системе отсчёта, если массу считать скаляром. Переходяв систему отсчёта, движущуюся со скоростью v, получаем

т. е.

Это соотношение справедливо и для безмассовыхчастиц, для к-рых v - единичный вектор. Случай m =0получаютпредельным переходом. В системе единиц с с 1 ф-лы (45), (46) принимают вид:

Многие авторы, пытаясь сохранить ньютоновосоотношение между импульсом и энергией ( Р = mv), наз. величину полной массой, релятивистской массой или просто массой и обозначают её т(v), т _r или m, а обычную массу, к-раяв этой статье обозначается т, наз. массой покоя (обозначают m₀).Т. о. в их обозначениях т = т _r = m (v) =Введение m(v), однако, излишне, т. к. приводит к необходимости говоритьо двух законах сохранения: энергии и полной массы, тогда как второй изних есть просто закон сохранения энергии, поделённой на с ². Кроме того, ф-лы (47) неприменимы к безмассовым частицам.

Для материальной точки состояние движенияоднозначно определяется вектором ,и 4-импульс (введённый описанным выше способом) равен Если п первоначально изолированных друг от друга тел (систем) вступаютв нек-рой области пространства-времени во взаимодействие, после чего возникают п' новых тел, то, поскольку до взаимодействия полный 4-импульс а после взаимодействия где P_in и P_out обозначают начальные(входящие) и конечные (выходящие) частицы, и поскольку полный импульс сохраняетсявсегда,

В частности, для энергии имеем

где r и f нумеруют входящиеи выходящие частицы.

В отличие от энергии сумма масс не сохраняется, <но полная масса замкнутой системы, разумеется, сохраняется в любом процессе. <Напр., в физике элементарных частиц хорошо известен процесс распада Нач. сумма масс есть просто а конечная равна нулю. Если обозначить 4-пмпульс ,a k₁, k₂ -4-импульсы и ,то В системе центра инерции двух :, k₁ = (,k),k₂ = (,- k), |k|=,окончательно Из (48) следует, что если покоящемуся телу сообщают энергию то его масса возрастает на ту же величину, (предполагается, <что сообщаемый телу импульс равен нулю), н, наоборот, если тело теряетэнергию оставаясь в покое, то его масса уменьшается на

В нсрелятивистском пределе энергия в (49) может быть записана в виде m + mv²/2 изакон сохранения энергии принимает вид

Напр., в распаде урана его масса покоябольше сумм масс покоя осколков; разность масс выделяется в виде их кинетич. <энергий.

Из (39) следует, что для любого тела

Использование 4-импульса существенно упрощаетрешение задач с релятивистской кинематикой. Так, при распаде частицы смассой т₀ на частицы с массами т₁, т₂ получаем Р ₀ = Р₁ + Р ₂ или Р₀ - Р₁ = Р₂(52) Возводя в квадрат (52), получаем

В системе покоя частицы с массой т ₀ имеем (P₀P₁) =откуда и аналогично для

Для системы, находящейся во внеш. поле,4-импульс не сохраняется. Для точечной частицы массы т закон егоизменения можно представить в виде

где - четырёхмерная внеш. сила. В электродинамике (сила Лоренца) и ур-ние движения для частицы в поле имеет вид

( е - электрич. заряд частицы).

Экспериментальные основания частнойО. т.

Первоначальной эксперим. основой частнойО. т. был ряд оптич. экспериментов, установивших отсутствие эффектов, связанныхс движением Земли относительно гипотетич. эфира в порядках v/c и(v/с)² (последнее - в опыте Майкельсона - Морли в 1887;см. Майкельсона опыт). Именно основываясь на этих опытах, А. Пуанкарев 1895 высказал гипотезу, что постулат относительности точен во всех порядкахпо v/c. К 1905, когда Лоренц, Пуанкаре и Эйнштейн дали свои формулировкичастной О. т., отсутствие эффектов в порядке v/c нашло дополнит. <подтверждение в ряде опытов, но отсутствие эффектов в порядке (v/c)² подтверждалось только опытом Майкельсона - Морли.

Постулат независимости скорости светаот движения источника подтверждения на опыте не имел; он был выдвинут Эйнштейномкак следствие справедливости электродинамики Лоренца в системе эфира ипринципа относительности, исходя из к-рого этот постулат переносится налюбые и. с. о.

Опыты Майкельсона - Морли неоднократноповторялись в 20-е гг. и неизменно давали отрицат. результат. С появлениеммазеров возникла возможность проверки отсутствия эффектов в порядке v/c в распространении света [Седерхольм (Y. P. Cederholm) и др., 1964].Достигнутая точность порядка 10^-3.

Независимость скорости света от движенияисточника неоднократно проверялась, наиб. точно - в работе Т. Альвегера(Т. Alvager) с сотрудниками (1964). В этом опыте измерялась скорость фотоновот распада p⁰ -мезоновс энергией ок. 1 ГэВ, т. е. движущихся со скоростью, практически равной с. При этом скорость движущихся вперёд -квантовсовпадала со скоростью света с точностью порядка 10^-4.

В 1986 проверялась ф-ла релятивистскогоэффекта Доплера:

Достигнутая точность для совпадения отношения с теоретически предсказанной величиной [ф-ла (55)] составляет 1,00004(27),т. е. ~ 3 х 10^-4. В принципе точность опыта может быть доведенадо 10^-7.

Ставились опыты по проверке отд. следствийчастной О. т. Так, эффект замедления времени был проверен С. Росси (S.Rossi) с сотрудниками (1942) [III, 3] вплоть до ~10.Полученный результат, включая зависимость времени жизни от ,согласуется с предсказаниями О. т.

В ядерной физике проверялось соотношениемежду дефектом массы и выделяющейся в реакции энергией. В особо прецизионныхопытах Н. Смит (N. Smith, 1939) [III, 1] показал, что выделяющаяся энергиясоответствует дефекту массы с точностью ~0,01.

В совр. технике широко применяются такиеустройства, как электронно-лучевые трубки, электронные микроскопы и др.,в к-рых достигаются 1. Для расчёта таких устройств применяются ф-лы релятивистской механики, <и в этом смысле частная О. т. является такой же основой инженерных расчётов, <как механика Ньютона - основой для расчётов кораблей, самолётов, мо

стов и др. "нерелятивистских" сооружений. <Наибольшие достигаютсяв совр. ускорителях заряж. частиц: для протонов ~ 10³, для электронов ~ 10⁵. При этом наглядно демонстрируется тот факт, что скоростьсвета является предельной для всех частиц: после того как становится больше 10, энергия частиц растёт, а скорость не изменяется, <становясь практически равной скорости света.

Одним из наиб. ярких релятивистских эффектов, <наблюдаемых на электронных циклич. ускорителях больших энергий (синхротронах),является релятивистский рост частоты синхротронного излучения; релятивистскиеэффекты приводят к тому, что частота синхротронного излучения имеет резкиймаксимум при , где - угл. частота движения электронов. Этот эффект хорошо наблюдается. Релятивистскоезамедление времени лежит в основе технологии получения вторичных пучковнестабильных частиц:,,,и др. Напр., в состоянии покоя -и -гипероны живут соответственно 0,8 х 10^-10 с и 1,5 х 10^-10 с, но уже при ~10 они, двигаясь со скоростью v= с, имеют длины распада 24 сми 45 см, что делает возможным формирование -пучков. <Ещё сильнее проявляется замедление времени в пучках -мезонов, <где достигается ~10³ и выше.

Точность релятивистской кинематики можнооценить по точности в определении масс нестабильных частиц (~ 10^-4- 10^-5.) Здесь производится проверка кинематики на самосогласованность, <поэтому приведённая ошибка в определении масс может рассматриваться какоценка точности релятивистской кинематики.

Геометрия Минковского лежит в основе совр. <теорий взаимодействия элементарных частиц - квантовой электродинамики (КЭД), квантовой хромодинамики и теории электрослабого взаимодействия, объединяющей КЭД и теорию слабого взаимодействия. Из перечисленныхтеорий лучше всего на опыте проверена КЭД, относительно к-рой из прямыхопытов известно, что она справедлива вплоть до расстоянии 10^-16 см и соответственно времён ~10^-26 с. Вплоть до таких расстоянийи времён действует, т. о., геометрия Минковского.

Лит.:1.Труды классиков:1) Принцип относительности, Г. Лоренц, А. Пуанкаре, А. Эйнштейн, Г. <Минковский. Сб. работ, М. - Л., 1935; 2) Лоренц Г. А., Старые и новые проблемыфизики. [Сб. пер.], М., 1970; 3) Пуанкаре А., Избр. труды, т. 3, М., 1974;4) Эйнштейн А., Собр. научных трудов, т. 1 - 2, М., 1965 - 66. II. Монографии:1) Борн М., Эйнштейновская теория относительности, пер. с англ., 2 изд.,М., 1972; 2) Вавилов С. И., Экспериментальные основания теории относительности, <М. - Л., 1928; 3) Вайскопф В., Физика в двадцатом столетии, пер. с англ.,М., 1977; 4) Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Теория поля, 7 изд., М., 1988;5) Логунов А. А., Основы теории относительности, М., 1982;

6) Rindler W., Essential relativity, 2ed., N. Y., 1977; 7) Паули В., Теория относительности, пер. с нем., 2 изд.,М., 1983; III. Периодические издания: 1) Srаith N. М., The energiesreleased in the reactions Li (p,a)He⁴ and Li^u(d,a) He⁴ and masses of the light atoms, "Phys. Rev.",1939, v. 56, p. 548; 2) Rоssi В. и др., Farther measurements of the mesotronlifetime, "Phys. Rev.", 1942, v. 61, p. 675; 3) Review of particle properties.Particle data group, "Rev. Mod. Phys.", 1984, v. 56, N° 2, pt 2; 4) A1vagеrТ. и др., Test of a second postulate of special relativity in the GeV region,"Phys. Lett.", 1964, v. 12, p. 260; 5) Сedаrhо1m ,J. P. и др., New experimentaltest of special relativity, "Phys. Rev. Lett.", 1958, v. 1, p. 342; 6)Мас Arthur D. W. и др., Test of a special-relativistic Doppler formulaat p = 0,84, "Phys. Rev. Lett.", 1986, v. 56, p. 282.

И. Ю. Кобзарев.