Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ

КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ

КАЛИБРОВОЧНЫЕ ПОЛЯ - поля, обеспечивающие инвариантность теории относительно калибровочных преобразований. Простейший пример К. п.- эл.-магн. поле А (х), связанное с калибровочной группой U(1). Дирака уравнение, описывающее свободные электроны, неинвариантно относительно калибровочных преобразований

в то же время система ур-ний Максвелла - Дирака

описывающая взаимодействующие электрон-позитронное и эл.-магн. поля, инвариантна относительно преобразований (1), если одновременно эл.-магн. поле преобразуется по закону

Здесь - тензор напряжённости эл.-магн. поля, - электромагнитный ток, m и е - заряд и масса электрона, g_m(m=0, 1, 2, 3) - Дирака матрицы(, по повторяющемуся индексу и. производится суммирование; используется система единиц =с=1).В случае неабелевых (некоммутативных) калибровочных групп роль эл.-магн. поля играют многокомпонентные поля , называемые Янга - Миллса полями. Поле Янга - Миллса, соответствующее произвольной простой компактной группе Ли, удобно описывать векторной ф-цией А_m( х), принимающейзначения в алгебре Ли этой группы: , где t^a - генераторы группы в присоединённом представлении (нумеруемые индексом а). Это значит, что при каждом х поле является матрицей в пространстве внутренней симметрии. Динамика полей Янга - Миллса фиксируется требованием калибровочной инвариантности. Если ограничиться мин. числом производных, то калибровочно-инвариантный лагранжиан Янга - Миллса имеет вид:

где - тензор напряжённости поля Янга - Миллса, g - константа взаимодействия (константа связи).Калибровочно-инвариантное взаимодействие поля Янга - Миллса с прочими полями (полями материи) вводится путём замены производных в свободном лагранжиане полей материи на ковариантные производные

где Г( А_m) - представление матриц А_m, соответствующее рассматриваемому представлению калибровочной группы. Так, если G=SU(2), как, напр., в объединённой теории эл.-магн. и слабого взаимодействий (т. е. в теории электрослабого взаимодействия), а поля материи реализуют её двумерное представление (напр., кварки одного поколения фермионов), то Т( А)= , где t _а (а = 1, 2, 3) - Паули матрицы;для группы SU(3 )(напр., в квантовой хромодинамике) , где l^a (а = 1, 2, . . ., 8) - Гелл-Мана матрицы. Ур-ния Эйлера - Лагранжа для поля Янга - Миллса имеют вид

где j_v - ток полей материи. По форме эти ур-ния совпадают с ур-ниями Максвелла, отличаясь лишь явным видом тензора напряжённости F_mv и ковариантной производной D_m.Помимо полей Янга - Миллса и эл.-магн. поля к К. п. относится также гравитац. поле, если считать, что поля материи сосредоточены в конечном объёме и исчезают на бесконечности. В этом случае группой симметрии является группа Пуанкаре, а калибровочными преобразованиями - преобразования координат, не меняющие гравитац. полей на бесконечности. Роль калибровочных полей играют в этом случае Кристоффеля символы (см. Тяготение). Поля Янга - Миллса, как и гравитац. поле, допускают геом. интерпретацию. Подобно символам Кристоффеля в теории тяготения, они описывают параллельный перенос в пространстве внутр. симметрии; тензор напряжённости F_mv является тензором кривизны этого пространства. Последоват. геом. трактовка полей Янга - Миллса может быть дана в рамках теории расслоенных пространств (см. Расслоение). Полю Янга - Миллса в этой теории соответствует понятие связности в гл. расслоении. <Инвариантность относительно преобразований, зависящих от произвольной ф-ции, согласно второй Нётер теореме, приводит к тому, что в случае калибровочно-инвариантных лагранжианов не все ур-ния Эйлера - Лагранжа описывают динамику системы. Часть из них представляет собой ур-ния связи, причём их число равно числу произвольных ф-ций, от к-рых зависит калибровочное преобразование. Так, для поляЯнга - Миллса компонента А₀ представляет собой не динамич. переменную, а множитель Лагранжа. Соответствующий ей канонич. импульс, вычисленный по стандартной ф-ле , тождественно обращается в нуль, а ур-ние Эйлера - Лагранжа, получающееся при варьировании действия по А₀,

D_i Р _i=j₀ (i =1, 2, 3), (7)

не содержит производных по времени и поэтому не описывает динамику системы, а является ур-нием связи. Наличие связей приводит к необходимости модифицировать процедуру канонического квантования. Наложение канонич. перестановочных соотношений на переменные А ^a_m, Р ^a_m.очевидным образом привело бы к противоречию с фактом обращения в нуль импульса Р ₀. Общая теория квантования систем со связями была развита П. А. М. Дираком (P. A. M. Dirac), Л. Д. Фаддеевым и др. Её суть состоит в том, что канонич. перестановочные соотношения накладываются лишь на истинные динамич. переменные, к-рые можно найти, решив ур-ния связей и наложив дополнит, условия, являющиеся в случае полей Янга - Миллса условиями калибровки. Если, напр., наложить на поля А _i условие кулоновской калибровки Р _iA_i=0_, то ур-ние связи (7) можно явно решить, выразив продольную часть вектора импульса Р _i, через трёхмерно-поперечные компоненты . Если подставить решение этого ур-ния в исходное действие, то оно будет зависеть только от трёхмерно-поперечных компонент к-рые и являются в данном случае истинными динамич. переменными и в квантовой теории должны удовлетворять канонич. перестановочным соотношениям. В электродинамике подобная процедура соответствует описанию системы в терминах поперечно поляризованных фотонов. <В случае неабелевых К. п. решение ур-ния (7) представляет собой бесконечный ряд по константе связи g, подстановка к-рого в действие порождает бесконечный ряд вершин взаимодействия, отсутствовавших в исходном лагранжиане. Поэтому фейнмановская диаграммная техника (см. Фейнмана диаграммы), возникающая при построении теории возмущений для матрицы рассеяния, содержит дополнит, элементы. Оказывается, однако, что возникающий т. о. ряд теории возмущений можно воспроизвести с помощью введения вспомогат. полей (т. н. Фаддеева - Попова духов )и конечного числа вершин, описывающих локальное взаимодействие этих полей с полями Янга - Миллса. <Для практич. вычислений более удобными являются не калибровки типа кулоновской, а явно релятивистски инвариантные калибровки, напр, лоренцова калибровка д_m А_m=0. В этом случае диаграммы Фейнмана, помимо стандартных элементов, содержат также дополнит, элементы, отвечающие "духовым полям". Релятивистски инвариантные правила Фейнмана удобно описывать с помощью эфф. действия, к-рое явно учитывает условие калибровки и вклад духовых полей. Это действие можно записать в виде

где - Д'Аламбера оператор,b - параметр, фиксирующий калибровку. Духовые поля с подчиняются статистике Ферми - Дирака, т. е. являются антикоммутирующими переменными. Они порождают лишь внутр. линии фейнмановских диаграмм и отсутствуют в наблюдаемых начальных и конечных асимптотич. состояниях. Эфф. действие (8), помимо духовых полей содержит также нефиз. компоненты векторного поля А, описывающие продольно поляризованныеи временные кванты. оль духовых полей состоит в том, чтобы скомпенсировать вклад этих квантов в промежуточных состояниях и обеспечить тем самым унитарность матрицы рассеяния в пространстве физ. состояний. В электродинамике нет необходимости вводить духовые поля, поскольку нефиз. компоненты фотонного поля удовлетворяют свободному ур-нию и фактически не участвуют во взаимодействии. Духовые поля отсутствуют также в нек-рых видах калибровой (напр., аксиальной и гамильтоновой).Если y - кварковые поля, а в качестве калибровочной группы выбрана группа преобразований цвета SU(3), то эфф. действие (8) порождает диаграммы Фейнмана в квантовой хромодинамике.Как и во всякой четырёхмерной теории, для вычисления конечных вероятностей разл. процессов необходимо провести процедуру перенормировки ф-ций Грина (см. Грина функции в квантовой теории поля) полей Янга - Миллса, устраняющую ультрафиолетовые расходимости за счёт переопределения затравочных масс, затравочных зарядов и нормировок волновых ф-ций. Калибровочная инвариантность накладывает жёсткие ограничения на эту процедуру. Для сохранения калибровочной инвариантности необходимо и достаточно, чтобы перенормированные ф-ции Грина удовлетворяли соотношениям, к-рые наз. обобщёнными Уорда тождествами.Простейшее тождество Уорда представляет собой условие поперечности двухточечной ф-ции Грина поля Янга - Миллса:

где Т означает хронологич. упорядочение полей (см. Хронологическое произведение), скобки <0|. . .|0> - вакуумное среднее, а - ф-ция Грина свободных полей. Из обобщённых тождеств Уорда следуют соотношения между разл. константами перенормировки, гарантирующие калибровочную инвариантность перенормированного действия. Эти тождества отражают нек-рую дополнительную, не имеющую классич. аналога симметрию эфф. действия Янга - Миллса [т. н. БРС-симметрия, открыта К. Бекки (С. Becchi), А. Руэ (A. Rouet), P. Стора (R. Stora) в 1974].Неабелевы К. п. обладают уникальной особенностью: их эфф. взаимодействие, определяемое инвариантным зарядом, убывает на малых расстояниях или, что то же самое, при больших энергиях. Это явление, получившее назв. асимптотической свободы, для КХД подтверждается рядом экспериментов (в частности, экспериментами по глубоко неупругому рассеянию).В то же время на больших расстояниях взаимодействие растёт и поэтому теория возмущений по константе связи становится неприменимой. Попытки построить матрицу рассеяния полей Янга - Миллса по теории возмущений по константе связи g сталкиваются с проблемой инфракрасных расходимостей. Интегралы, соответствующие диаграммам Фейнмана, расходятся при малых импульсах. Аналогичное явление имеет место и в электродинамике, однако в электродинамике существует регулярная процедура устранения этих расходимостей. Если рассмотреть наряду с данным процессом процесс, отличающийся испусканием дополнит, мягких фотонов, к-рый на опыте невозможно отличить от исходного благодаря конечной разрешающей способности приборов, то в суммарном сечении ИК-расходимости сокращаются. В случае неабелевых К. п. такое сокращение отсутствует и регулярный метод устранения ИК-расходимостей пока не найден. Решение этой проблемы связано с решением проблемы удержания цвета. Согласно общепринятой в настоящее время точке зрения, теория возмущений по константе связи вообще неприменима для построения матрицы рассеяния полей Янга - Миллса. Осн. <состояние в этой теории определяется не свободным лагранжианом (g=0), а должно учитывать самодействие полей Янга - Миллса. Согласно гипотезе удержания цвета, это взаимодействие устроено таким образом, что оно не позволяет калибровочпо-неинвариантным объектам (кваркам, квантам поля Янга - Миллса - глюонам) расходиться на макроскоиич. расстояния (д10^-13 см). Наблюдаемыми являются лишь калибровочно инвариантные объекты типа , TrF_mv F_mv, отвечающие связанным состояниям исходных полей. Именно эти связанные состояния и порождают наблюдаемый спектр элементарных частиц. Гипотеза удержания пока строго не доказана, однако имеются упрощённые модели (напр., КХД в двумерном пространстве-времени; см. Двумерные модели КТП), в к-рых она явно выполнена. Для исследования К. п. на больших расстояниях используются такие методы, как разложение по параметру, связанному с размерностью N калибровочной группы (т. н. 1/N- разложение), квазиклассич. разложение в окрестности частицеподобных решений классич. ур-ний (см. Инстантон, Солитон), модели струн релятивистских, решётки метод (при к-ром непрерывное пространство-время заменяется дискретным).Др. возможность непротиворечивого использования К. п. дают модели со спонтанно нарушенной симметрией (см. Спонтанное нарушение симметрии). В этих моделях благодаря взаимодействию со скалярными частицами ( Хиггси бозонами )кванты поля Янга - Миллса приобретают ненулевую массу. При этом, хотя симметрия теории относительно глобальных (т. е. не зависящих от координат) преобразований нарушается, калибровочная инвариантность по-прежнему имеет место. Меняется лишь явный вид калибровочных преобразований. Поскольку такая теория описывает массивные поля, ИК-расходимости в ней отсутствуют. В то же время описанная выше техника квантования и перенормировки К. п. практически без изменений переносится и на модели со спонтанно нарушенной симметрией. Калибровочные теории со спонтанно нарушенной симметрией лежат в основе электрослабого взаимодействия. <Рассматриваются также разл. обобщения К. п., в частности суперкалибровочные поля (см. Суперсимметрия). В суперкалибровочных теориях поля разной тензорной размерности (скалярные, спинорные, векторные поля и т. д.) объединяются в одно суперполе. Поскольку нек-рые из этих полей являются фермнонными, а другие - бозонными, суперкалибровочные преобразования включают помимо коммутирующих переменных также антикоммутирующие. Роль поля Янга - Миллса играет суперполе, включающее кроме векторных полей скалярные и спинорные поля. Суперкалибровочные теории, включающие гравитацию, являются кандидатами на роль теории, объединяющей все виды взаимодействия (см. Супергравитация). Лит.: Славнов А. А., Фаддеев Л. Д., Введение в квантовую теорию калибровочных полей, 2 изд., М., 1988; Ициксон К., 3юбер Ж. - Б., Квантовая теория поля, т. 2, пер. с англ., М., 1984; Xуанг К., Кварки, лептоны и калибровочные поля, пер. с англ., М., 1985. А. А. Славное.