Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
КЛЕБША - ГОРДАНА КОЭФФИЦИЕНТЫ

КЛЕБША - ГОРДАНА КОЭФФИЦИЕНТЫ

КЛЕБША - ГОРДАНА КОЭФФИЦИЕНТЫ - возникают в квантовой механике при решении задачи сложения моментов (орбитальных, спиновых или полных) независимых частиц (или систем), а также при сложении изотопических спинов и вообще любых аналогичных величин, связанных с группами SU(2 )и SО(3). Названы по имени А. Клебша (A. Klebsch) и П. Гордана (P. Gordan). В литературе встречаются также названия: коэффициенты векторного сложения, коэффициенты Вигнера. К.-Г. <к. используются в атомной и молекулярной физике, теории твёрдого тела, физике ядра и элементарных частиц и в др. приложениях квантовой механики.

Задача сложения двух моментов состоит в нахождении собств. ф-ций и собств. значений операторов и (где j=j₁+j₂ - суммарный момент системы), выраженных через собств. ф-ции ,операторов двух складываемых моментов и их проекций [1, 2]:

Табл. 2. - Коэффициенты

		1	0	-1
	j1+1
	j1
	j1-1

Здесь коэффициенты -К.-Г. к., j² =j(j+ + 1), , причём j и т могут принимать значения: j = j₁+j₂, j₁+j₂ - 1, .... , (2) (j₁,m₁,j₂,m₂ - квантовые числа моментов и их проекций отд. частиц; см. Квантовое сложение моментов).

Используется много разл. обозначений для К.-Г. к. [кроме обозначения в ф-ле (1)] и связанных с ними коэффициентов.

Табл. 1.- Коэффициенты

		-1/2	-1/2
	j1+1/2
	j1 -1/2

Общие ф-лы для К.-Г. к. при произвольных j₁, j₂ и j были получены Ю. Вигнером (Е. Wigner) и Г. Рака (Н. Raka) с помощью методов теории групп, однако они слишком громоздки для большинства физ. приложений. В практич. расчётах пользуются либо ал-гебраич. ф-лами в случае, когда один из моментов мал (табл. 1, j₂=1/2 ; табл. 2, j₂=1), либо числ. таблицами К.-Г. к. для конкретных значений j₁, j₂ и j (см., напр., [3]). Ниже перечислены осн. свойства и приложения К.-Г. к., используемые в квантовомеханич. расчётах. 1) Соотношения ортогональности:

( - Кронекера символ). Эти свойства вытекают из того, что К.-Г. к. имеют смысл ф-ций унитарного преобразования при переходе от представления, где в качестве переменных используются j₁, m₁, j₂, m₂, к представлению, заданному переменными j₁, j₂, j, т, отвечающими суммарному моменту (см. Представлений теория). При этом К.-Г. к. всегда вещественны. 2) Соотношения симметрии:

и т. д. Эти соотношения полезны для приведения К.-Г. к. к табличным значениям. Всего имеется 72 соотношения симметрии, к-рые образуют группу, найденную Т. Редже (Т. Regge) в 1958 (см. [6]).

3) С К.-Г. к. тесно связаны 3j -символы Вигнера:

к-рые обладают более простыми свойствами симметрии. Напр.,

где . Имеются также нетривиальные симметрии 3j -символов, отличные от (*) и установленные Редже (см. [6]). 3j-символы представляют собой амплитуду вероятности того, что три угл. момента j₁, j₂ и j складываются в полный угл. момент, равный нулю. С этим и связана их высокая симметрия. Табл. 3j -символов см., напр., в [2, 7].

Обобщением З j -символов являются т. н. 3nj -символы, к-рые появляются при рассмотрении разл. схем сложения (n+1) угл. моментов.

4) К.-Г. к. возникают в разложении произведения двух D -ф-ций Вигнера, описывающих преобразование волновой ф-ции частицы с угл. моментом j при вращениях системы отсчёта:

Здесь g - произвольный элемент вращений группы SO(3), определяемый, напр., тремя углами Эйлера; связь между исходной волновой ф-цией и волновой ф-цией в повёрнутой системе отсчёта имеет вид

Из (6) вытекает, что интеграл от произведения трёх D -ф-ций (в частности, от трёх полиномов Лежандра) выражается через К.-Г. к.

5) Одним из наиб, важных физ. приложений К.-Г. к. является теорема Вигнера - Эккарта о виде матричных элементов тензорных операторов:

Здесь T_JM - неприводимый тензорный оператор ранга J, имеющий 2J+1 компонент (M=J, J-1, . .., -J) и преобразующийся при вращениях так же, как волновая ф-ция состояния с моментом J, т. е. по неприводимому представлению D^(J) группы SO(3);- приведённый (редуцированный) матричный элемент, к-рый уже не зависит от проекций m₁ , m₂ и М и является инвариантом относительно вращений. Замечат. особенностью теоремы Вигнера - Эккарта является явное отделение теоретико-групповых аспектов оператора T_JM[связанных с К.-Г. к. ф-лой (7)] от его спец. свойств, зависящих от конкретной физ. задачи (приведённые матричные элементы, к-рые не могут быть вычислены в общем виде).

При сложении более двух моментов применяются Рака коэффициенты и 3nj -символы. Для упрощения вычислений при сложении большого числа моментов развита спец. диаграммная техника [4].

Различные свойства К.-Г. к. наиб. полно изложены в монографиях [3, 5] и в [6].

Лит.:1) В и г н е р Е., Теория групп и ее приложения в квантовомеханической теории атомных спектров, пер. с англ., М., 1961; 2) Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Квантовая механика. Нерелятивистская теория, 3 изд., М., 1974; 3) Варшалович Д. А., Москалев А. Н., Херсонский В. К., Квантовая теория углового момента, Л., 1975; 4) Ю ц и с А. П., Л е в и н с о н И. Б., В а н а-гас В. В., Математический аппарат теории момента количества движения, Вильнюс, 1960; 5) Биденхарн Л.,

Л а у к Д ж.. Угловой момент в квантовой физике, пер. с англ., т. 1-2, М., 1984; 6) Смородинский Я. А., Шелеяин Л. А., Коэффициенты Клебша - Гордана с разных сторон, "УФН", 1972, т. 106, с. 3; 7) Э д м о н д с А., Угловые моменты в квантовой механике, в сб.: Деформация атомных ядер, пер. с англ., М., 1958. В. С. Попов.