Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
ПЕРЕНОРМИРОВАННАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

ПЕРЕНОРМИРОВАННАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ

ПЕРЕНОРМИРОВАННАЯ ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ - в квантовой теории поля (КТП) - вариант возмущений теории (ВТ),используемый в перенормируемой КТП и характеризуемый тем, что исходные- "затравочные" - величины (операторы полей, векторы состояний, константывзаимодействия) в каждом порядке переопределяются ("перенормируются") спомощью спец. вычитательной процедуры. Эквивалентный способ представленияП. т. в. состоит в использовании с самого начала конечных, физических, <величин, но при этом в лагранжиан вводятся контрчлены, к-рыеобеспечивают в каждом порядке ВТ сокращение больших поправок к нач. параметрамразложения. Методика П. т. в. предполагает возможность введения регуляризациив теорию и выбора "ренормализац. схемы", т. е. способа вычитания бесконечных(при снятии регуляризации) вкладов в каждом порядке ВТ.

П. т. в. была сформулирована в работахР. Фейнмана (R. Feynman), Ю. Швингера (J. Schwinger) и Ф. Дайcoнa (F. Dyson)в 1948 - 49. Первонач. идея содержалась в работе X. Бете (Н. Bethe, 1947),осуществившего перенормировку массы электрона при вычислениях лэмбовскогосдвига. Более строгое матем. обоснование процедура П. т. в. получилав работах Н. Н. Боголюбова и О. С. Парасюка в 1955 (см. Боголюбова- Парасюка теорема), а также К. Хеппа (К. Нерр, 1965) и В. Циммермана(W. Zimmennan, 1970).

П. т. в. возникла в связи с необходимостьюустранения бесконечностей, возникающих при снятии регуляризации в высшихпорядках ВТ в квантовой электродинамике (КЭД). Но в любых моделяхКТП, содержащих расходимости, процедура перенормировки полей и константявляется обязательной для получения осмысленных результатов. Методика П. <т. в. допускает в принципе и конечные перенормировки, но их осуществлениене обязательно и является вопросом удобства. Разл. ренормализац. схемыотличаются друг от друга конечными перенормировками (см. Ренор-мализационнаягруппа).

П. т. в. можно проиллюстрировать на примереамплитуды рассеяния электрона во внеш. эл.-магн. поле. В низшем (первом)порядке, соответствующем бор новскому приближению по затравочнойконстанте взаимодействия ("заряду") е _в, эта амплитудаописывается Фейнмана диаграммой, изображённой на рис. 1, и имеетвид

где р, р' -4-импульсы начальногои конечного электрона, q= р - р' - переданный 4-импульс,- фурье-образ эл.-магн. потенциала,- матричный элемент электромагнитного тока по электронным состояниям,= 0, 1, 2, 3 - лоренцев индекс (индекс В в обозначениях для зарядаи поля от англ. слова bare - "голый"; он означает, что в низшем приближениине учитывается "шуба" из виртуальных частиц, сопровождающих электрон ифотон).

Рис. 1.

Рис. 2.

Радиационные поправки к (1) определяютсядиаграммами, изображёнными на рис. 2, к-рые содержат расходимости при большихвиртуальных импульсах. В лоренцевой калибровке эл.-магн. поля (см. Калибровочнаяинвариантность )расходимость остаётся только в диаграммах 2(а и б). Диаграммы 2(б )приводят к перенормировке массы и волновойф-ции электрона. Диаграмма 2( а) даёт перенормировку заряда и внеш. <поля. Проанализируем подробнее только вклад диаграммы 2( а), ограничившисьдля простоты двумя предельными случаями: 1) q²0;2) - q² т ², где т - масса электрона. Регуляризуем эту диаграммус помощью процедуры Паули - Вилларса (см. Регуляризация расходимостей). Если М - масса кванта регуляторного поля, то в первом случае(q²0)сумма диаграмм 1 и 2( а)

а во втором случае (при М ²- q² т ²)

В этих выражениях удержаны только большиелогарифмич. вклады;

Видно, что в терминах исходных параметровВТ "не работает", т. к. в следующем за борновским приближении возникаютбольшие поправки Методика П. т. в. позволяет исправить ситуацию. Переопределим в ф-ле (2)заряд и потенциал внеш. поля:

где

Тогда амплитуда F, выраженная впеременных e_R и A_R (индекс R отангл. слова renormalized), примет тот же вид, что и борновская амплитудав (1), но с заменой е _в e_R,А _В А _R:

F = J(e_R,A_R).(6)

Т. о., если с самого начала использоватькак параметры разложения величины e_R и A_R,то диаграмму 2(а )при q²0вообще не следует рассматривать. Иначе говоря, нужно "руками" вычесть еёвклад в точке q² = 0. Это удобно осуществить, добавивконтрчлен в исходный лагранжиан теории, подобрав его так, чтобы он в соответствующемпорядке компенсировал диаграмму 2(а )в точке q² =0.После добавления контрчлена в лагранжиане должны уже фигурировать "перенормированные"величины e_R и A _R. (Необходимо такжедобавить контрчлены для перенормировки массы и волновой ф-ции электрона, <к-рые здесь для простоты не обсуждаются.) Вид контрчлена обычно фиксируетсятребованиями локальности и симметрии.

Такую же процедуру можно осуществить ив след. порядках ВТ. В результате, напр., e_R и константаперенормировки Z окажутся формальным рядом по затравочному заряду е _B.

Последоват. схема вычитания расходящихсяподграфов в диаграммах Фейнмана при нулевых импульсах (к-рая отвечает итерациямконтрчленов в высш. приближениях ВТ) даётся R-операцией.

После выполнения вычитат. процедуры амплитударассеяния при q² =0 будет совпадать с борновской амплитудой(6) уже во всех порядках ВТ. Точная амплитуда . оказалась как бы"нормированной" на борновскую в отд. точке q²=0. Поэтомуо величине q² = 0 в рассматриваемой ренормализац. схемеиногда говорят как о "точке вычитания", или "точке нормировки".

Поскольку при q²= 0к амплитуде F по построению нет больших поправок от высш. порядковВТ, то искусственно введённый перенормированный заряд e_R непосредственноизмеряется по значению борновской амплитуды в рассеянии электрона во внеш. <поле на малые углы. Поэтому параметр e_R наз. фи . зарядомэлектрона.

Подчеркнём, что введение перенормированныхвеличин, согласно ф-ле (4), делает конечной амплитуду рассеяния при любыхзначениях q². Это связано с ло-гарифмич. характером расходимостидиаграммы 2( а). Достаточно одного вычитания в произвольной точке, <чтобы сделать диаграмму конечной. В частности, с точностью до членов после подстановки (4) амплитуда (3) приобретает вид

и не содержит массы регулятора.

Описанная схема не годится для асимптотическисвободных теорий (см. Асимптотическая свобода), в частности для квантовой хромодинамики (КХД). В таких теориях заряд, определённыйчерез значение борновской амплитуды рассеяния, при нулевом импульсе оказываетсябольшим и ВТ по этому параметру не существует. Эта трудность обходитсявыбором точки нормировки там, где заряд мал, т. е. при - q²=где -характерный массовый параметр в асимптотически свободных теориях (положениеИК-полюса в эффективном заряде).

В рассмотренном выше простейшем примеретоже возможен такой способ перенормировки. Ему соответствует вычитаниевклада диаграммы 2( а) в точке - q² = Приэтом амплитуда рассеяния совпадает с борновской - q² = а в качестве заряда и ноля в борновской амплитуде рассеяния фигурируютвеличины

где

При произвольных, но больших значениях q² амплитуда рассеяния теперь равна:

а при q²0:

Если то и могут использоваться в качестве параметров в П. т. в.

В КЭД выбор точки нормировки - q²- дляпрактич. целей является менее удобным, но в КХД - это единств. возможность. <Причём в КХД возникает ряд дополнит, усложнений, связанных, в частности, <с необходимостью рассматривать как глюоны, так и ксарки внемассовой поверхности (с виртуальностями - р ²). Спец. меры приходится также применять для поддержания калибровочнойинвариантности в процессе регуляризации и перенормировки.

Лит.: Швебер С., Введение в релятивистскуюквантовую теорию поля, пер. с англ., М., 1963; Боголюбов Н. Н., ШирковД. В., Квантовые поля, 2 изд., М., 1990; Волошин М. Б., Тер-МартиросянК. А., Теория калибровочных взаимодействий элементарных частиц, М., 1984;Рамон П., Теория поля. Современный вводный курс, пер. с англ., М., 1984.

М. В. Терентъев.