(a, b=1, 2, 3, 4) [черта над y означает дираковское сопряжение].Лагранжиан взаимодействия КЭД
Приглашаем посетить сайт
КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
КВАНТОВАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА (КЭД) - раздел квантовой теории поля (КТП), в к-ром описывается эл.-магн. взаимодействие. В более узком значении - квантовая теория взаимодействия эл.-магн. поля Максвелла и электрон-позитронного Дирака поля (часто называемая также спинорной электродинамикой). Именно в этом более узком значении термин "КЭД" употребляется ниже. <Исторически КЭД была первым чётко сформулированным разделом КТП. Она сложилась в кон. 20-х гг. <на базе квантовой теории излучения и квантовой теории спинорного поля Дирака. <В основе совр. формулировки КЭД лежит модель, содержащая два взаимодействующих между собой релятивистских поля. Эл.-магн. поле характеризуется действительным четырёхмерным векторным потенциалом Аm( х)(m=0, 1, 2, 3; х - пространственно-временная точка), к-рый с формальной стороны может рассматриваться как простейшее (абелево) калибровочное поле. Поле Дирака описывается комплексным лоренцевым спинором ya(x),(a, b=1, 2, 3, 4) [черта над y означает дираковское сопряжение].Лагранжиан взаимодействия КЭД
(где е - заряд электрона, gm - Дирака матрицы,gm( х) -4-вектор электрон-позитронного тока) может быть получен заменой обычной производной на ковариантную производную в лагранжиане свободного поля Дирака. Как видно, лагранжиан представляет собой выражение вида произведения (ток) 3 (потенциал). В качестве константы взаимодействия (константы связи) выступает электрич. заряд е. Квантование системы полей А,
взаимодействующих в соответствии с лагранжианом (1), приводит к КЭД. При этом поле Максвелла А квантуется по Бозе - Эйнштейну, а поле Дирака 
- по Ферми - Дираку (см. Перестановочные соотношения). Согласно общим положениям КТП, поля А,
после квантования становятся операторами, удовлетворяющими определ. перестановочным соотношениям и действующими на вектор состояния системы. Эти операторы удовлетворяют также связанной системе дифференциальных ур-ний, к-рые вместе с ур-нием Шрёдингера для вектора состояния образуют систему ур-ний движения КЭД. <Специфика квантования в КЭД связана с тем, что эл.-магн. поле описывается не векторами напряжённостей электрич. ( Е )и магн. (H )полей (ср. значения к-рых являются физически наблюдаемыми величинами), а потенциалом Аm, содержащим избыточные - продольные и временные - степени свободы. Для исключения соответствующих "лишних" динамич. переменных при классич. рассмотрении обычно накладывают на Аm те или иные дополнит. условия (напр., условие Лоренца дm Аm=0). Другими словами, выбор в качестве динамич. переменных четырёх компонент потенциала приводит к тому, что эл.-магн. поле оказывается представленным в виде системы со связями. Для квантования таких систем может быть использован разработанный в 1965 П. А. М. Дираком (P. A. M. Dirac) формализм (т. н. обобщённая гамильтонова динамика). В рассматриваемом случае наряду с ней употребляют также спец. процедуру [квантование по Гупте-Блейлеру; С. Н. Гупта (S. N. Gupta), К. Блейлер (К. Bleu1ег), 1950], сводящуюся к исключению из полной системы допустимых состояний тех состояний, к-рые содержат продольные и (или) временные фотоны. <Поскольку система ур-ний движения КЭД не допускает точного решения, её решают приближённо методом теории возмущений по имеющемуся малому безразмерному параметру a= е2/h с~1/137, характеризующему интенсивность процессов эл.-магн. взаимодействия и называемому тонкой структуры постоянной. Как правило, вычисляют амплитуды вероятностей перехода систем, состоящих из электронов, позитронов, фотонов (и нек-рых других заряж. частиц, напр., мюонов, кварков, протонов), из одного - начального - состояния в другое - конечное. Такие амплитуды представляются матричными элементами М матрицы рассеяния и вычисляются в виде разложений по степеням a.Ужe первые попытки приложения КЭД к реальным процессам (напр., к комптоновскому рассеянию фотонов на электронах или к мёллеровскому рассеянию электронов) привели к парадоксальным результатам. Наинизшее приближение для матричного элемента М~a(фактически не использующее представления о квантовом характере поля Дирака и потому эквивалентное квантовой теории излучения) приводило к выражениям (напр., к Клейна - Нишины формуле),находящимся в хорошем количеств. согласии с опытом. Относит. погрешность составляла величину порядка a, поэтому появилась необходимость учёта высших членов теории возмущений. Эти члены - т. н. радиационные поправки - соответствуют вкладам от таких переходов, к-рые в промежуточных состояниях содержат дополнит. виртуальные частицы - виртуальные фотоны, электроны и позитроны. Оказалось, однако, что соответствующие матричные элементы, представляемые интегралами по 4-импульсам виртуальных частиц, как правило, расходятся в УФ-области (см. Ультрафиолетовая расходимость )и поэтому не могут быть вычислены. Проблема УФ-расходимостей в течение мн. лет препятствовала вычислению радиац. поправок в КЭД и развитию КТП в целом. <Проблема была решена во 2-й пол. 40-х гг. в рамках вновь созданной ковариантной формулировки квантовой теории возмущений на основе физ. идеи о перенормировках. В основе метода перенормировок лежит тот факт, что в КЭД все УФ-бесконечности могут быть представлены в виде вкладов, перенормирующих характеристики электрона - его массу m и заряд е. Бесконечный характер таких перенормировок не приводит к физ. противоречиям вследствие ненаблюдаемости неперенормированных, "голых", значений m0 и е0. Исторически первой успешной демонстрацией плодотворности идеи об устранении УФ-расходимостей с помощью бесконечных перенормировок была работа X. Бете (Н. A. Bethe; 1947) по нерелятивистскому расчёту лэмбовского сдвига уровней в атоме водорода. Ковариантная теория возмущений [С. Томонага (S. Тоmonaga), Ю. Швингер (J. Schwinger), P. Фейнман (В. Ph. Feynman), 1946-49] позволила создать регулярный метод устранения расходимостей в КЭД и вычислить низшие радиац. поправки к осн. эффектам, напр., к магн. моменту электрона. В 1-й пол. 50-х гг. была разработана [Ф. Дайсон (F. J. Dyson), А. Салам (A. Salam), Н. Н. Боголюбов и др.] общая теория перенормировок и для класса перенормируемых взаимодействий построена перенормированная теория возмущений. Основой практич. вычислений в КЭД являются т. н. правила Фейнмана (см. Фейнмана диаграммы). Согласно этим правилам, для вычисления матричного элемента к.-л. процесса в данном фиксированном порядке теории возмущений следует составить полный набор диаграмм Фейнмана этого порядка и затем с каждой из диаграмм по нек-рым правилам соответствия сопоставить определ. выражение; сумма этих выражений и образует вклад данного порядка в матричный элемент. Общая теория перенормировок позволяет избавиться от всех УФ-расходимостей в матричных элементах и получить конечные однозначные результаты в произвольных, в принципе сколь угодно высоких порядках по степеням а. Конечные вклады высоких порядков можно представить в виде несингулярных многократных интегралов по нек-рым числовым параметрам. Эти параметрич. интегралы в простейших случаях вычисляются аналитически, а в более сложных - численно. <Кроме УФ-расходимостей, радиац. поправки к процессам с участием заряж. частиц обладают также инфракрасными расходимостями (связанными, в конечном счёте, с дальнодействующим характером эл.-магн. <взаимодействия). Однако ИК-расходимости отсутствуют в сечении инклюзивных процессов, в к-ром произведено суммирование вероятностей переходов в состояния с произвольным числом "мягких" фотонов (экспериментально такие состояния нельзя отличить от исходного из-за конечной разрешающей способности регистрирующих приборов).Предсказательная сила КЭД может быть проиллюстрирована на примере вычисления радиац. поправок к аномальному магнитному моменту электрона. Общее выражение для магн. момента записывается в виде
где m Б - магнетон Бора, а члены, пропорциональные степеням a, обязаны своим происхождением радиац. поправкам и в сумме образуют аномальный магн. момент m Б а. Первая поправка а=1/2,соответствующая одной однопетлевой диаграмме, была вычислена Ю. Швингером в 1948. Для вычисления след. вклада необходим учёт пяти двухпетлевых диаграмм (изображённых на рис. к ст. Вершинная часть).Результат, имеющий аналитич. вид и приближённо равный
а2 = 0,328 479, (3)
был получен в кон. 50-х гг. <Для определения а3 следует вычислить вклады, отвечающие сорока различным трёхпетлевым диаграммам. Аналитич. расчёт практически невозможно выполнить вручную, поскольку параметрич. интегралы оказываются 7-кратными. Вследствие этого прибегают к приближённым числ. расчётам на ЭВМ. Первый результат, полученный в 1971, содержал значит. неопределённость: a3=1,49(25), связанную с ошибками числ. счёта. В течение последующего десятилетия благодаря использованию ЭВМ для проведения аналитич. вычислений удалось аналитически рассчитать до конца 30 из 40 трёхпетлевых диаграмм, что привело к существ. повышению точности. Результат на 1983:
a3 = l,1765(13). (4)
При достигнутом уровне точности становится важной погрешность эксперим. значения a. Совр. значение
a-1 эксп = 137,035 981(12) (5)
позволяет провести вычисление аномального магн. момента электрона с относит. точностью 10-10. Соответствующее значениеa теор= 1,159 652 306(111).10-3 находится в согласии с эксперим. значением а эксп = 1,159 652 188(4).10-3,определённым, как видно, с точностью 10-12. Достигнутый здесь уровень соответствия (~10-10) между расчётным и эксперим. значениями является рекордным в физике. <Следует отметить, что совр. точность сравнения теории с экспериментом лимитируется погрешностью в значении a в (5), определённом с помощью Джозефсона эффекта. На этом уровне точности оказываются несущественными теоретич. квантовополевые поправки за счёт эффектов, выходящих за рамки КЭД, а также радиац. поправки порядка a4 в ф-ле (2). Последние отвечают 891 четырёхпетлевой диаграмме, и их вклад в а составляет, по проведённым оценкам, величину порядка 10-11.Для др. эффектов КЭД - аннигиляции пары электрон-позитрон, дельбрюковского рассеяния фотонов эл.-магн. полем ядра и др.- также характерно отличное согласие теории с экспериментом. Однако по сравнению с аномальным магн. моментом в них уровень соответствия не столь высок либо из-за меньшей точности эксперимента, либо вследствие того, что оказываетсяболее существенным учёт эффектов, выходящих за рамки чистой КЭД. <Так, напр., эксперим. значение величины сверхтонкого расщепления (см. Сверхтонкая структура )уровня 1S1/2 в атоме водорода известно ныне с рекордной точностью, достигающей 13 порядков, тогда как теоретич. расчёты дают здесь лишь 7 знаков, причём уже с учётом конечных размеров протона. Величина лэмбовского сдвига в атоме водорода известна из опыта с точностью 10-7, а согласующееся с ней теоретич. значение имеет погрешность на уровне 10-6, причём эффекты, выходящие за рамки КЭД, дают вклад порядка 10-5.Вообще опытные данные по всем без исключения эффектам КЭД находятся в прекрасном согласии с теоретич. значениями в тех случаях, когда в этих эффектах др. виды взаимодействий оказываются несущественными либо поддаются учёту. Этот факт имеет принципиальное значение как для КЭД, так и для КТП в целом. Он свидетельствует о том, что осн. положения совр. локальной (калибровочной) КТП, а также динамич. основа КЭД, соответствующая локально калибровочному лагранжиану взаимодействия, оказываются справедливыми во всей области, доступной совр. эксперименту. Лит.: Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б., Квантовая электродинамика, 4 изд., М., 1981; Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, 4 изд., М., 1984; Ф е й н м а н Р., Квантовая электродинамика, пер. с англ., М., 1964; Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М., Питаевский Л. П., Квантовая электродинамика, 2 изд., М., 1980; Боголюбов Н. Н.. Ширков Д. В., Квантовые поля, 2 изд., М., 1990, гл. 5, 7, 8. Д. В. Ширков.