Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
СПИНОВЫЙ ГАМИЛЬТОНИАН

СПИНОВЫЙ ГАМИЛЬТОНИАН

СПИНОВЫЙ ГАМИЛЬТОНИАН - оператор энергии спиновой подсистемыатомов, ионов, молекул и твёрдых тел, выражающийся через операторы спина электронов и нуклонов, составляющих эти физ. объекты (см. Гамильтониан). Полный С. г. можно разбить на два слагаемых - квазиклассический и обменныйС. г. (не имеющий классич. аналога). С. г. широко применяется в физикемагн. явлении для описания разл. свойств магнетиков, в т. ч. типов магнитныхатомных структур, магн. ветвей спектра элементарных возбуждений, термодинамич. <величин в упорядоченных магн. системах (включая описание магнитных фазовыхпереходов), разл. видов магнитного резонанса и т. п. (см. также Парамагнетизм).

Для решения широкого круга задач физики конден-сиров. состояния помимомагнетизма (напр., сверхтекучести и сверхпроводимости, сегнетоэлектричества, <упорядочения сплавов и т. п.) часто используются эфф. квази- (или псевдо-)спиновыегамильтонианы (КСГ). Применение КСГ основано на формальной аналогии междуспиновыми операторами и операторами, действующими в пространстве состояний( волновых функций )к.-л. квантовой системы.

Квазиклассический спиновый гамильтониан обусловлен наличием у электроновили нуклонов собственного дипольного магн. момента (см. Магнетизм микрочастиц), к-рый посредством магнитомеханич. отношениясвязан с их спином (g - Ланде множитель,- электронный или ядерный магнетон).«Квазиклассичность» этой части С. г. означает, что всеперечисленные взаимодействия выражаются через магн. моменты частиц ,к-рые могут иметь природу, отличную от спиновой (напр., суперпарамагнетизм), тогда как обменная часть С. г. имеет чисто квантовую природу и принципиальноневозможна в системе частиц, не обладающих полуцелым спином. В квазиклассическийС. г. входят: взаимодействие микрочастицы с внеш. магн. нолем (см. Зееманаэффект); спин-орбитальное взаимодействие электрона, находящегося вкулоновском поле ядра и др. электронов; сверхтонкое взаимодействие магн. <моментов электронов и ядер; магн. диполь-дипольное взаимодействие всистеме спинов электронов или ядер (иногда учитываются и взаимодействияболее высокой мультипольности). В обычных условиях все эти релятивистскиевзаимодействия малы по сравнению с кулоновским обменным взаимодействием. Кроме того, малы члены, включающие взаимодействие с магн. моментамиядер, т. к..Учёт тех или иных членов С. г. важен, напр., в атомной и молекулярной спектроскопиии многих резонансных явлениях, где они приводят к расщеплению энергетич. <уровней и уширению резонансных линий.

Эффективный одноузельный спиновый гамильтониан. В физике магн. <явлений осн. роль играют ионы (атомы) элементов переходных групп и редкоземельныхэлементов с частично заполненными d- или f -оболочками - т. <н. парамагн. ионы (ПМИ). Они обладают отличным от нуля полным спином , где п - число неспаренных электронов в оболочке, s_l- оператор спина l-го электрона. Суммарное спиновое квантовое числоПМИ S= n/2. Энергия свободного ПМИ определяется в основном зеемановскими спин-орбитальным взаимодействиями, тогда как энергия того же атома (иона)в твёрдом теле выражается с помощью «одночастичного» (точнее, одноузельного)эффективного С. г. [М. Прайс (М. Ргусе), 1950]

в к-ром полностью исключены орбитальные степени свободы (их вклад во2-м порядке теории возмущений определяют коэф.),и - проекциивекторов внеш. магн. поля и полного спина на оси координат. Это связанос действием кулоновского внутрикристаллического поля, создаваемогонемагнитным окружением, благодаря к-рому спин-орбитальное взаимодействиеПМИ существенно ослабляется. Если осн. состояние ПМИ является, напр., орбитальнымсинглетом, то происходит полное «замораживание» орбитальных моментов.

Первое слагаемое в (1) соответствует зеемановской энергии, где ), - Кронекера символ; второе - энергии, определяющей т. н. ванфлековскийпарамагнетизм, третье - энергии одноионной магнитной анизотропии, характеризуемой тензором (l - константа спин-орбитального взаимодействия). Число разл. независимыхg-факторов и констант анизотропии одинаково и определяется типом локальнойсимметрии окружения. В случае кубич. симметрии имеется всего одна константа,, третье слагаемое в (1) вырождается в число DS(S + 1) и вклад в(1) начинается с членов 4-го порядка (). В случаеаксиальной симметрии таких констант две:(,). В случае более сложной симметрии вклад в (1) могут давать более высокиестепени спиновых (дипольных) операторов, а также квадрупольные и др. тензорныеоператоры, что особенно важно для больших значений S и высокой симметриивнутрикристаллич. поля. Микроскопич. расчёт и сложен, <и они обычно задаются в С. г. феноменологически.

Обменный спиновый гамильтониан атомов и молекул. Обменный С. <г. имеет чисто квантовую природу и не обладает классич. аналогом. Он обусловлен тождественности принципом (квантовая неразличимость одинаковых микрочастиц)и Паули принципом. Полная волновая ф-ция системы фермионов (электроновили нуклонов), образующих электронную или ядерную подсистемы твёрдого тела, <должна быть антисимметричной по отношению к перестановке координат и спиновлюбой пары частиц. Этим обусловлено появление в собств. значениях энергиисистемы дополнит. обменных вкладов. Однако, согласно П. Дираку (P. Dirac,1926), можно избежать сложной процедуры антисимметризации и ограничитьсяпростым произведением одночастичных волновых ф-ций, если добавить к исходномугамильтониану оператор обменного взаимодействия, построенный только наспиновых операторах входящих в систему фермионов. Структура обменного С. <г. определяется тем, что для любой пары частиц р, q со спином 1/2оператор перестановки (транспозиции) орбитальной (координатной) волновойф-ции имеет вид:, где S_p и S_q - векторные спиновыеоператоры частиц р и q.

Простейшим примером обменного С. г. является гамильтониан системы двухвзаимодействующих друг с другом и с ядрами электронов (напр., в атоме Неили молекуле Н ₂):

Он описывает зависимость энергии этой системы от взаимной ориентацииспинов S₁ и S₂ электронов и учитывает лишь кулоновскоевзаимодействие.

Обменный спиновый гамильтониан твёрдых тел. Обобщение простейшегоС. г. (2) было дано В. Гейзенбергом (W. Heisenberg, 1928) и независимоЯ. И. Френкелем (1928) для описания сильно магнитных свойств нек-рых твёрдыхтел, содержащих ПМИ. При этом учитывалось только кулоновское взаимодействиев системе многих d- и (или) f -электронов и полностью пренебрегалосьналичием s -электронов проводимости. Соответствующий С. г. магн. <диэлектрика имеет вид (см. Гейзенберга модель):

где - константа, S_i (S_j) - векторный операторполного спина ПМИ в узле i(j), J_ij - обменный интеграл, <зависящий только от расстояния между узлами i и j (J_ii=0).

Несмотря на простоту, С. г. (3) качественно правильно описывает магн. <упорядочение не только в магн. диэлектриках, но и в нек-рых др. веществах, <где учёт обменного взаимодействия внутри подсистемы d- или f-электроновуже недостаточен.

Обобщённый спиновый гамильтониан. Дальнейшее обобщение С. г.(3) для магн. диэлектриков можно получить при учёте не только обменного, <но и релятивистского межионного взаимодействия. Этот С. г. может быть полученс помощью возмущений теории для вырожденного уровня в операторнойформе (Н. Н. Боголюбов, С. В. Тябликов, 1949). Обменный интеграл становитсятензором ,симметричная часть к-рого описывает эффекты обменной магн. анизотропии, <а антисимметричная часть, представляемая вектором D_ij,описывает явление слабого ферромагнетизма в магнетиках определ. <симметрии [И. Е. Дзялошинский, 1957; Т. Мория (Т. Moriya), 1960]. Соответствующийдобавочный член к С. г. (3) имеет вид ). Число независимых компонент симметричной части тензора

определяется типом симметрии кристаллич. решётки. В кристаллах кубич. <симметрии всего одна компонента

. В случаеодноосной анизотропии , причём (- продольная,, -поперечнаякомпоненты). Соответствующий последнему случаю С. г. с учётом зеемановскоговзаимодействия имеет вид:

здесь Н - постоянное и однородное внеш. магн. поле. С. г. (4) описываетферро- или антифорромагнетик в зависимости от знака обменных констант ,к-рые рассматриваются как феноменологич. константы теории (их микроскопич. <расчёт представляет самостоят. сложную задачу). Частные случаи С. г. (4)соответствуют известным моделям магн. веществ; напр., при С. г. (4) сводится к С. г. изотропной модели Геизенберга (3), при -к С. г. Изинга модели, при -к С. г, т. н. поперечной, или X Y - модели. В большинстве случаеврассматривается приближение, когда величины отличны от нуля, лишь если узлы i и j являются ближайшимисоседями и . Отношение наз. константой межионной магн. анизотропии. В более общем случае С. г. включает члены, <описывающие одноионную анизотропию [см. третье слагаемое в (1)]. При < 1 С. г. (4) описывает (анти)ферромагнетик типа «лёгкая ось», при В оолее высоких порядках теории возмущений к билинейному по спиновымоператорам С. г. (4) могут добавляться т. н. негейзенберговские взаимодействия, <напр. полилинейные формы вида

(здесь -численные коэф.),

называемые многоспиновыми взаимодействиями и существенные, напр., дляописания спиновой системы квантового кристалла Не ³. Вслучае спина S1 возможны также негейзенберговские слагаемые вида

, содержащиевсе независимые спиновые инварианты до порядка 25 включительно [Э. Шрёдингор(Е. Schroedinger), 1940)]. Напр., при S =1 это даёт биквадратныйобмен.

Обобщение С. г. (4), учитывающее спин-фононное взаимодействие вмагнетике, возможно на основе кривой Слэтера, описывающей изменение обменныхконстант при смещениях ПМИ из своих равновесных положений. Др. обобщениеС. г. (4) возможно, если при разбиении магнетика на две или более магн. <подрешётки обменные константы могут иметь разл. величины и знаки внутрии между подрешётками(напр., в простом антиферромагнетике J_ij < 0 междуподрешётками, тогда как J_ij > 0 внутри подрешёток).

Величины могут быть анизотропны не только в спиновом (по индексам ),но и в координатном (по индексам i, j )пространстве (см. Слоистыемагнетики). В примесных или неупорядоченных магнетиках обменные константымогут быть случайно распределёнными величинами (см. Спиновое стекло). При теоретич. расчётах иногда удобно использовать вместо исходных решёточных(дискретных) С. г. (3) и (4) их континуальный (непрерывный) аналог; дляэтого вводится зависящий от времени t оператор плотности магн. момента , - дельта-функция,S_i == S_i(t), r_i = r_i(t), к-рый затем усредняется по физически бесконечно малому объёму [Ч. Херринг, <Ч. Киттель (С. Herring, С. Kittel), 1951]. В результате возникает плотностьмакроскопич. магн. момента M(r,t), через к-рую (вместе с её производными)выражаются обычно квазиклассич. феноменологич. С. г., получаемые в видеразложений по магн. инвариантам данной решётки.

Квазисниновый гамильтониан. Использование КСГ прежде всего связанос относит. простотой и низкой размерностью т= 2S + 1 алгебры SU(m )спиновых операторов. Для С. г. (КСГ) хорошо разработаны теоретич. методывычислений, в т. ч. квазиклассич. метод приближённого вторичного квантования, вариационные и функциональные методы, методы двухвременных и причинных Грина функций, разл. варианты диаграммной техники. Применение КСГособенно удобно в тех случаях, когда система обладает небольшим числом2S + 1 (S - квантовое число квазиспина) разл. квантовых состояний, <к-рые описываются собств. значениями оператора продольной компоненты оператораквазиспина S^z (от -S до S )или операторачисла спиновых отклонений п= S - S^z (от 0 до2S).. Операторы поперечных компонент квазиспина играют роль операторов рождения и уничтожения квазиспиновых отклоненийв S^z -представлении и переводят систему из одного состояния вдругое. Для наиб. распространённого случая двухуровневой системы (S = 1/2)квазиспиновые операторы и S^z точно совпадают с паули-операторами, коммутирующими подобнобозе-операторам для разл. состояний ( )и антикоммутирующими подобно ферми-операторам для совпадающих состояний(i= j).

В методе КСГ пространство состояний системы является конечномерным, <а энергетич. спектр - ограниченным (хотя и не обязательно дискретным).Определ. трудности связаны с кинематич. свойствами спиновых операторов(условием нормировки и т. п.), а также с необходимостью использования обобщённойквантовой статистики с макс. числом заполнения 25 (случай S = 1/2 соответствует Ферми - Дирака статистике,- Бозе - Эйнштейна статистике). Физически возможность введения квазиспиновогоописания в реальных системах мн. ферми- или (реже) бозе-частиц обусловленаособенностями структуры гамильтониана взаимодействия и пространства собств. <ф-ций, позволяющими полностью исключить одночастичные ферми-или бозе-операторыи ввести с их помощью операторы квазиспина или паули-операторы. При вычисленияхна основе КСГ также возможно использование соответствующих квазибозонныхили квазифермионных представлений спиновых операторов.

Характерные примеры применения метода КСГ: 1) энергия ПМИ в немагн. <окружении в случае, когда его основным орбитальным состоянием являетсяне синглет, а вырожденный дублет, описывается вместо (1) эффективным КСГвида

где S^z - оператор z-компоненты обычного спина ПМИ,- оператор z-компоненты квазиспина (=1/2), действующий в двумерном пространстве волновых ф-ций вырожденногоорбитального дублета.

2) Зарядово-независимое (изотонически инвариантное) взаимодействие всистеме нуклонов описывается КСГ вида (3) с заменой S_i на , где - оператор изотопического спина (В. Гейзенберг, 1932), действующийв пространстве волновых ф-ций протона и нейтрона. В J_ij входяткак истинное обменное взаимодействие вида (3), обусловленное фермионнойприродой нуклонов, так и другие зависящие от спина (т. н. тензорные) взаимодействия(см. Ядерные силы).

3) Энергия (анти)сегнетоэлектрика с водородной связью (напр., КН ₂ РО ₄ или NaNO₂), обнаруживающего структурный фазовый переход, описывается частным случаем КСГ вида (4) - моделью Изинга в поперечном«поле» [П. де Жен (P. de Gennes), 1963]. Роль внеш. поля играет интегралтуннелирования протона между двумя симметричными минимумами («ямами») одночастичного потенциала. <Операторы квазиспина для 5 = 1/2 определены в двумерном пространстве симметричныхи антисимметричных по «ямам» волновых ф-ций, описывающих расщепление осн. <состояния на дублет с энергиями соответственно , причём ).

4) Энергия сверхпроводника в простейшем варианте Бардина - Купера- Шриффера модели может быть представлена в виде частного случая КСГ(4) - поперечной, или ХУ-модели [П. Андерсон (P. Anderson), 1958]. Рольобменного интеграла играет матричный элемент взаимодействия притяжениямежду куперовскими парами (см. Купера эффект), а роль операторовквазиспина - операторы рождения, уничтожения и числа этих пар. Свойство«фермиевости» квазиспиновых операторов для S = 1/2 в одном импульсном состоянииотражает требование принципа Паули.

5) Энергия решёточного квантового неидеального бозе-газа (напр., состоящегоиз атомов Не ⁴), проявляющего свойство сверхтекучести, такжеможет быть выражена с помощью КСГ (4) для частного случая ферромагнетикатипа «лёгкая плоскость» [X. Мацубара, X. Мацуда (Н. Matsubara, H. Matsuda),1956] для S = 1/2. Роль внеш. поля играют хим. потенциал и анизотропия, <а обменного интеграла - энергия парного притяжения бозонов. Свойство «фермиевости»паули-операторов в одном узле решётки отражает наличие в нём сильного отталкивания(типа потенциала «твёрдых сфер»).

6) Конфигурац. энергия парных взаимодействий атомов - ближайших соседейв бинарном твёрдом растворе или сплаве может быть записана в виде продольной(изинговской) части КСГ (4) с S= 1/2 (Э. Изинг, 1925). Операторквазиспина S^z описывает два состояния, соответствующихзаполнению данного узла атомом одного или другого типа; роль обменногоинтеграла играет энергия упорядочения. На основе этой модели можно описатьфазовый переход типа порядок - беспорядок (J > 0) с образованиемсверхрешётки или распадение на две фазы разл. состава.

С помощью того же изинговского КСГ с S = 1/2, но с учётом полнойпотенциальной энергии парных взаимодействий атомов одного типа (дальнодействующеепритяжение и короткодействующее отталкивание) [Т. Ли, Ч. Янг (Т. Lee, С.Yang), 1952] можно описать фазовый переход типа конденсации для классич. <неидеального решёточного газа, при этом оператор п = 1/2 - S^z,как правило, описывает два возможных состояния в узле: занятое ( п =1) и свободное ( п= 0).

7) С помощью КСГ формулируются также задачи о взаимодействии экситонов в молекулярных кристаллах (А. М. Агранович, Б. Тошич, В. Tosich, 1976),магн. упорядочении в f -металлах с синглетным осн. состоянием вовнутрикристаллич. поле [И. Уонг, Б. Купер (Y. Wang, В. Cooper), 1968],квадрупольном упорядочении в твёрдом ортоводороде [Дж. Рейч, Р. Эттерс(J. Raich, R. Etters), 1967], фазовом переходе в сверхизлучательный (лазерный)режим для взаимодействия эл.-магн. излучения с термостатом из двухуровневыхатомов [Р. Дикке (R. Dicke), 1954].

Лит.: Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М., Квантовая механика, 4изд., М., 1989, гл. 9-11, 16; Дирак П. А. М., Принципы квантовой механики, <пер. с англ., 2 изд., М., 1979, гл. 9; Хилл Т., Статистическая механика, <пер. с англ., М., 1960; Альтшулер С. А., Козырев Б. М., Электронный парамагнитныйрезонанс соединений элементов промежуточных групп, 2 изд., М., 1972; Тау л е с Д., Квантовая механика систем многих частиц, пер. с англ., М.,1963; Т я б л и к о в С. В., Методы квантовой теории магнетизма, 2 изд.,М., 1975; Агранович В. М., Теория экситонов, М., 1968; Вонсовский С. В.,Магнетизм, М., 1971; Уайт Р., Квантовая теория магнетизма, пер. с англ.,2 изд., М., 1985; Вакс В. Г. Введение в микроскопическую теорию сегнетоэлектриков, <М. 1973; Исихара А., Статистическая физика, пер. с англ. М., 1973, гл.8; Барьяхтар В. Г., Криворучко В. Н. Яблонский Д. А., Функции Грина в теориимагнетизма К., 1984; И з ю м о в Ю. А., С к р я б и и Ю. Н., Статистическаямеханика магвитоупорядочевных систем, М., 1987; Нагаев Э. Л., Магнетикисо сложными обменными взаимодействиями, М., 1988. Ю. Г. Рудой.