Приглашаем посетить сайт

Физическая энциклопедия. В 5-ти томах
СУПЕРГРАВИТАЦИЯ

СУПЕРГРАВИТАЦИЯ

СУПЕРГРАВИТАЦИЯ - суперсимметризованная теория тяготения, т. е. теория тяготения Эйнштейна для такой системы материальных полей, для к-рой имеет место инвариантность относительно преобразований простой (N=1) или расширенной (N>1) суперсимметрии. В соответствии с числом N майорановских спинорных генераторов С. называют п р о с т о й (N=1) или р а с ш и р е н н о й (N>1). В этом смысле обычная теория тяготения есть N=0 С. Первые работы по С. выполнены в 1976-77 [1-3]. Следует отметить, что расширение теории гравитации, обладающее спонтанно нарушенной суперсимметрией, обсуждалось ещё раньше [4].

Интерес к С. объясняется прежде всего тем, что в её рамках возникают новые возможности объединения фун-дам. частиц в супермультиплеты и объединения всех взаимодействий, включая гравитационное (такое объединение было невозможным в рамках симметрии, не содержащих спинорных генераторов). Кроме того, в теориях С. наблюдается значит. сокращение числа квантовых ультрафиолетовых расходимостей по сравнению с теорией тяготения, хотя они всё же остаются, по-видимому, неперенормируемыми. Популярные в физике высоких энергий суперсимметричные феноменелогич. модели содержат С. в качестве важного ингредиента, помогающего, в частности, осуществлять спонтанное нарушение суперсимметрии. Наконец, теория С. обладает внутр. красотой и тесно связана с теорией суперструн.

Теории С. посвящены большие обзоры (напр., [5-7]) и монографии (напр., [8, 9]).

Гравитационные супермультиплеты. Переносчик поля тяготения в С. входит в один супермультиплет со своими суперпартнёрами. В простой суперсимметрии гравитац. супермультиплет состоит из гравитона, описываемого тетрадой е ^a_m( х )(спиральность l=+2), и одного гравитино, описываемого полем Рариты - Швингера y^a_m( х) (спиральность l=b3/2), где a = 0, 1, 2, 3 и a=1, 2- векторный и спинорный индексы 4-мерного касательного пространства- плоского пространства с той же метрикой, что и в точке касания: h^ab = diag (0, 1, 2, 3), m = 0, 1, 2, 3 - мировой индекс, а тетрада е ^a_m связана с метрическим тензором g_mv соотношением g_mv = е ^a_m е ^b_vh^ab (по совпадающим индексам предполагается суммирование).

В расширенной С. гравитац. супермультиплет содержит наряду с гравитоном соответствующее число полей с низшими спиральностями. Это гравитино (l=+3/2), векторные (l= b 1), спинорные (l= b 1/2) и скалярные (l = 0) поля. Имеется только 8 расширенных С., т. к. при N>8 число "гравитонов" превысило бы единицу и появились бы поля с l>2. Поcледоват. описания таких полей пока нет, и поэтому сложилось убеждение, что N=8 С. является максимальной.

Действие для простой С. имеет вид

Первый член представляет собой обычное действие Эйнштейна - Гильберта для теории тяготения,- гравитационная константа (ньютонова гравитационная постоянная равна ), R - скалярная кривизна, е - детерминант тетрады (здесь черта над y - дираковское сопряжение). Второй член - рарита-швингеровский лагранжиан для гравитино, взаимодействующего с полем тяготения, возникающий в результате замены производной д_l = д/дх^l. на ковариантную производную D_l, включающую нужную ло-ренцеву связность[5], g₅, g_m - Дирака матрицы,e^mvlr - Леви-Чивиты символ.

Инвариантности действия. Локальная суперсимметрия. Действие (1) инвариантно не только относительно группы общих координатных преобразований

[l^m(x)- инфинитезимальный векторный параметр, произвольная ф-ция пространственно-временной точки х]и локальной группы Лоренца, действующей на индекс а у тетрады и спинорный индекс у спин-векторного поля y^a_m(x), но и относительно преобразований (в инфинитезимальной форме)

со спинорными параметрами e_a( х). Если e_a( х) не зависят от координат, e_a(x) = e_a, то (3) сводятся к преобразованиям суперсимметрии для гравитац. мультиплета. В случае параметров e_a( х), зависящих от х, преобразования (3) являются локализованными преобразованиями суперсимметрии. Поэтому о С. часто говорят как о л о к а л ь н о й с у п е р с и м м е т р и и. Аналогично локализация преобразований высших суперсимметрий лежит в основе расширенных С.

Отметим, что в случае полей гравитона и гравитино вне массовой поверхности (не подчиняющихся ур-ниям движения) преобразования (3) не образуют группу. Коммутатор двух таких преобразований в применении к гравитино даёт не только локализованные преобразования группы Пуанкаре, группы Лоренца и суперсимметрии, но также и лишние члены, пропорциональные ур-ниям движения для гравитино и соответственно обращающиеся в ноль при соблюдении этих ур-ний. Это означает, что вид преобразований (3) будет модифицироваться при включении взаимодействий с материальными или калибровочными полями и будет зависеть от этих взаимодействий.

Вспомогательные поля. Чтобы добиться замыкания алгебры локальных суперсимметрии и чтобы её преобразования имели универсальный вид, не зависящий от конкретной модели, следует ввести т. н. в с п о м о г а т е л ьн ы е п о л я [5, 10]. Такие поля на массовой поверхности выражаются с помощью ур-ний движения через физ. поля или равны нулю. Необходимость во вспомогат. полях вне массовой поверхности диктуется также сопоставлением чисел фермионных и бозонных степеней свободы. Из суперсимметрии следует, что эти числа должны совпадать. На массовой поверхности имеются две бозонные (l= b2у гравитона) и две фермионные (l = b 3/2 у гравитино) степени свободы. Вне массовой поверхности тетрада е ^a_m. имеет 6 степеней свободы. Действительно, её 44=16 компонент подвержены преобразованиям общекоординатной группы (2), устраняющей 4 степени свободы, и локальной группы Лоренца, устраняющей 6 степеней свободы. В то же время из 44=16 компонент y^a_m ( х )локальная суперсимметрия [4 ф-ции e_a( х)]оставляет эффективными 16 - 4=12 степеней свободы. Т. <о., для по-следоват. описания вне массовой поверхности следует добавить, по крайней мере, бозонные поля с 6 степенями свободы. Мин. набор вспомогат. полей состоит из 4-векторного поля А_m( х), скалярного поля S (х )и псевдоскалярного поля Р (х). При этом в лагранжиан (1) необходимо добавить член

Из его вида следует, что на массовой поверхности в отсутствие материальных полей вспомогат. поля обращаются в нуль. Преобразование локальной суперсимметрии для тетрады (3а) не модифицируется, а для поля гравитино (3б) приобретает дополнит. члены со вспомогат. полями:

Сами вспомогат. поля преобразуются через величины, исчезающие на ур-ниях движения, напр.

правая часть представляет собой ур-ние движения для гравитино, следующее из (1). В результате получаются преобразования суперсимметрии (см. [5]), к-рые уже образуют группу и сохраняют свой вид при включении взаимодействий с материальными полями. В случае С. без взаимодействия с материальными полями эти преобразования сводятся на массовой поверхности к (3).

Суперпространство. Преобразования локальной суперсимметрии (3) и группа общекоординатных преобразований пространства-времени (2) должны объединяться в супергруппу общекоординатных преобразований суперпространства и в этих рамках допускают наиб. адекватную и красивую интерпретацию. Для простой суперсимметрии известны вещественное суперпространство

содержащие наряду с векторной координатой х^m дополнит. спинорные координаты q ^а, (a, =1, 2), объединяемые в вещественный майорановский спинор , и киральное суперпространство

к-рое является комплексным и его спинорные координаты образуют двухкомпонентный (левый, L), вейлевский спинор (см. Вейля уравнение). В отсутствие гравитации вещественное суперпространство есть гиперповерхность в комплексном суперпространстве , определяемая ур-ниями

Здесь черта означает комплексное сопряжение, s^m = (1, s), s - Паули матрицы. Группой простой С. является группа общих преобразований координат кирального суперпространства [11]

ограниченных условием, что их супердетерминат (березиниан) равен единице:

т. е. условием сохранения суперобъёма . Инфинитези-мально оно имеет вид

Общие преобразования координат х^m_L даются первым членом разложения по q_L суперпараметра l^m(x_L,q_L), локальная суперсимметрия - первым членом разложения суперпараметра l^a(x_L, q_L); локальным преобразованиям Лоренца отвечает линейный по q_L член этого разложения. Остальные члены разложений l^m и l^a либо соответствуют локальной конформной суперсимметрии [7, 11 ] и обращаются в нуль в силу условия (5'), либо описывают чисто калибровочные степени свободы.

Гравитационное аксиальное суперполе определяется след. геом. образом [И]. В комплексном суперпространстве вводится вещественная гиперповерхность ,

а мнимая часть векторной координаты отождествляется с аксиальным гравитац. суперполем,

Группа общих преобразований координат (4) индуцирует на нём калибровочные преобразования. Возможна частичная фиксация калибровки, при к-рой в Н^m( х,q,) остаются только физ. и вспомогат. поля мин. набора, обсуждённого выше на языке компонентных полей:

После такой фиксации калибровки остаётся калибровочная свобода, соответствующая общим преобразованиям координат в x -пространстве, локальной суперсимметрии и локальной группе Лоренца.

Супертензоры. Для описания геометрии искривлённого суперпространства нужны тензорные (т. е. не зависящие от выбора системы координат или калибровки) объекты. Ковариантные производные в суперпространстве определяются через т. н. с у п е р р е п е р ы Е ^M_A (обобщения тетрад) и связности w^BC_A, аналогично тому, как это делается в обычном пространстве:

где А - либо векторный, либо спинорный индекс группы Лоренца в касат. пространстве, L_BC- её генераторы. Коммутатор двух таких производных (антикоммутатор, если обе спинорные) содержит тензоры кручения Т ^С _АВ и кривизны R^CD_AB (см. Кривизны тензор)

Чтобы довести возникающие из Т ^С _АВ, R^CD_AB (при разложении по q, ) многочисленные тензорные величины до нужного и соответствующего физ. полям небольшого числа, на эти тензоры н а л а г а ю т с в я з и [3, 5]. После этого все тензоры кручения и кривизны выражаются через небольшое число независимых величин: киральное суперполе R, R = 0, вещественное векторное суперполе G^m, киральное суперполе W_abg и их ковариантные производные. Существенно, что можно разрешить эти связи и выразить все тензоры кручения и кривизны, а также суперреперы и связности через гравитационное суперполе H^m [8, 12]. По сравнению с общей геометрией вложение его в с помощью H^m порождает определённую комплексную геометрию. Её дальнейшее уточнение (получение ур-ний для H^m) производится на основе вариационного принципа [12].

Принцип наименьшего действия. Для простой С. он имеет ясную геом. интерпретацию: нужно минимизировать инвариантный суперобъём [13]. Др. словами, есть м и н и м а л ь н а я гиперповерхность в . Т. о., действие имеет вид

где Е- супердетерминант суперрепера Е^m_A. Подстановка Е ^M _А в терминах гравитац. суперполя H^m даёт нужную лаг-ранжеву плотность [12]. Если С. взаимодействует с материей, то следует добавить и суперсимметричное действие для материи:

где лагранжева плотность L_m получается из соответствующей лагранжевой плотности материи в плоском пространстве путём удлинения ковариантных производных (6). Ур-ния движения получаются варьированием действия по H^m. В суперполях они имеют вид

где в правой части стоит т. н. суперток. На языке обычных компонентных полей они сводятся к ур-нию Эйнштейна

(R_mv - тензор Риччи, R = R_mvg^mv, T_mv -тензор энергии-импульса материи), ковариантизованному ур-нию Рариты - Швингера

и ур-ниям, фиксирующим вспомогат. поля. Источники T_mv (тензор энергии-импульса) и J_am (сохраняющийся ток суперсимметрии) являются компонентами супертока V_m.

Компенсаторы. Действие (7) удобно трактовать след. образом. Если исходить из конформной С., к-рая содержит ещё одну локальную суперсимметрию, а также локальные масштабную и g₅ -симметрии, то березиниан Е сам по себе не может быть лагранжевой плотностью, он имеет неподходящий конформный вес. Чтобы компенсировать этот вес, вводят т. н. компенсаторы. Для мин. набора полей компенсатором служит киральное (левое) суперполе j(x_L, q_L) [8], преобразующееся при преобразованиях (4) след. образом:

Теперь в качестве лагранжевой плотности можно взять Еj.С помощью (8) можно обратить компенсатор j(x_L, q_L) в единицу. Тогда получится действие (7) с группой инвариантности (4), (5). Так получается мин. версия С. Если в качестве компенсатора взять вместо кирального другие N=1суперполя, то получатся др. версии N=1С. вместо минимальной. В них гравитац. суперполями будут служить и векторное, и спинорное [8].

Историческая справка. Компонентное действие для N=1С. было предложено в 1976 в [1] (первая работа в марте, вторая - в мае). Почти одновременно [2] было найдено линеаризов. действие для гравитационного аксиального суперполя со всеми вспомогат. полями. Вспомогат. поля были восстановлены в рамках компонентного подхода в [10]. Общий геом. подход к N=1 С. был развит в [3 ].- Гравитац. суперполе как мнимая часть координаты х^m_L и соответствующая комплексная геометрия были развиты в [11, 12] (см. также монографию [8]). Замечательно, что компонентное действие для теории со спонтанно нарушенной локальной суперсимметрией было написано ещё в 1973 [4].

Расходимости в простой С. В случае обычной теории тяготения, хотя она и является неперенормируемой, расходимости (в отсутствие материальных связей) возникают начиная с двух петель диаграмм Фейнмана, однопетлевых расходимостей нет. Это можно объяснить на геом. языке из размерных соображений. Контрчлен для одной петли был бы квадратичен по тензору Римана. Используя аналог теоремы Гаусса (теорему Гаусса - Бонне), его можно заменить на члены, квадратичные по Риччи тензорам и скалярной кривизне. И те и другие, однако, обращаются в ноль на ур-ниях движения.

Аналогичные соображения определяют конечность од-нопетлевого приближения и в N=1 С.: контрчленом могла бы быть только величина W^abg W_abg. но соответствующий член в действии обращается в ноль на ур-ниях движения. Более того, пропадают и двухпетлевые расходимости. Единственный возможный контрчлен здесь также обращается в ноль на ур-ниях движения. Но уже в трёх петлях имеется кандидат в контрчлены и возникают неустранимые трёхпетлевые расходимости.

N = 2 супергравитация - простейшая из расширенных. В состав её супермультиплета на массовой поверхности входят гравитон, 2 гравитино и гравифотон (l=b1). Её лагранжева плотность состоит из скалярной кривизны, действий для гравитино и гравифотона, получающихся ковариантизацией соответствующих свободных действий, и простых неминимальных членов взаимодействия гравитино с гравифотоном [14, 5]. Она представляет собой первую из теорий С., в принципе объединяющую гравитацию с электромагнетизмом (гравифотон), и содержит 4 фермионные и 4 бозонные степени свободы. Объединение частиц со спинами 2 и 1 оказалось возможным благодаря наличию промежуточной ступени-гравитино со спином ³/₂. (Именно этой ступени не хватило А. Эйнштейну в его попытках создания единой теории эл.-магн. и гравитац. полей.)

Действие для физ. полей по построению инвариантно относительно группы общих преобразований координат 4-мерного пространства-времени и относительно локальной группы Лоренца, а также относительно преобразований локальной N=2суперсимметрии. Как и в случае N=1, алгебра локальной N=2суперсимметрии на физ. полях замыкается только на массовой поверхности (т. е. на ур-ниях движения). Чтобы добиться её замыкания вне массовой поверхности и чтобы преобразования имели модель-но-независимый, универсальный вид, необходимы N=2вспомогат. поля. К 1984 было найдено 3 разл. набора вспомогат. полей [15], каждый из к-рых включает 40 бо-зонных и 40 фермионных степеней свободы. Они соответствуют фактически 3 разл. компенсаторам [16]. Полные наборы полей, входящих в каждый из этих гравитационных N=2супермульгиплетов, можно найти в [15, 16].

Суперполевая N=2. супергравитация. Как и в случае N=1С., было много попыток представить N=2С. в суперпространстве. Эта задача была, решена лишь в 1987. В стандартном суперпространстве

(i -изотопич. индекс) связи на тензоры кручения были полностью найдены для N=2 С. <и высших расширенных С. в [17]. Однако разрешение этих связей натолкнулось на значит. трудности. Обычное суперпространство оказалось неадекватным задаче, и вместо него понадобилось введение т. н. гармонического с у п е р п р о с т р а н с т в а. Именно в гармонич. суперпространстве, точнее в его ана-литич. подпространстве, реализуется группа N=2С. как группа общих преобразований координат и оказывается возможным построение версий N=2 С. в терминах супер-полей без связей [18]. Гармонич. суперпространство получается из стандартного (9) добавлением двумерной сферы S² с гармониками u_i⁺, i= 1, 2, в качестве координат. Гармоники подчиняются условию u⁺ⁱu_i^-=1и . определены с точностью до фазы, u_i⁺' =е ^biau_i⁺. Далее, от спинорных переменных с открытым изотопич. индексом i (9) нужно перейти к переменным с открытым U(1)-индексом ^b. Аналитическое N=2. суперпространство содержит спинорные переменные q_a⁺, и не содержит q_a^-, ,

и в нём реализуется N=2. суперсимметрия. Группа конформной N=2С. есть группа

где l^M, l⁽⁺²⁾, l^-a - соответствующие калибровочные суперпараметры. Гравитац. суперполями теории оказываются суперреперы, возникшие в ковариантной гармонич. производной, аналитич. суперполя H⁽⁺⁴⁾(z, и), H^{(+2) М}(z, и )и спинорные суперполя общего вида , где означает либо a, либо . Эти Суперполя с супергруппой (10) правильно описывают физ. поля конформной N=2 С.

Чтобы перейти к эйнштейновской N=2С., следует компенсировать нек-рые из добавочных калибровочных ин-вариантностей, характерных для конформного случая. Это достигается введением соответствующих компенсирующих мультиплетов. Один из них описывается N=2. макс-велловским суперполем, другой является супермультипле-том материи. Действие записывается как действие конформной N=2С. Для компенсаторов, описываемых суперполями с наложением подходящей сторонней связи, воспроизводятся обсуждавшиеся выше версии N=2С. с конечным числом вспомогат. полей [18]. Дефектом всех этих версий является то, что в них нельзя вводить самодействие физ. материальных полей общего вида. Однако, если выбрать в качестве компенсатора аналитич. суперполе, не ограниченное связями, q⁺ -гипермультиплет (см. Суперпространство), то возникает новая версия С., к-рая допускает самые общие самодействия (всегда можно построить нужную плотность) и тем самым имеет наибольшие шансы быть использованной в феноменoлогич. моделях. Характерное её свойство - бесконечное число вспомогат. полей.

Высшие (N>2) расширенные С. ещё далеки от завершения. Хотя для конформных С. с N= 3, 4 вспомогат. поля известны (их конечный набор), геом. суперполевые формулировки этих С. пока не построены. В наиб. интересном случае эйнштейновских С. с N>=3 вспомогат. поля не найдены и формулировки вне массовой поверхности не известны. На массовой поверхности их формулировки существуют и на языке компонентных полей, и на языке суперполей [5, 19]. Практически все расширенные теории С. в пространстве 4 измерений допускают формулировку как теории N=1 С., но в пространстве большего числа измерений. Затем происходит компактификация до 4-мерного пространства-времени, в процессе к-рой отщепляется компактное многообразие. Группа его симметрии отождествляется с группой внутренних симметрии4-мерного мира. Такая программа привела к всплеску интереса к теориям Калу-цы - Клейна [19]. Наибольшее внимание привлекает N=8 C.

N=8 С. Как говорилось выше, N=8 - макс. значение N. На массовой поверхности N=8 теория описывает грави-тон, гравитино, 28 векторных полей, 35 спинорных и 56 скалярных. Теория допускает наиб. простую формулировку в 11-мерном пространстве, где на "массовой поверхности" она описывает "гравитон" e^a_m(m, a=1,..., 11), "гравитино" y^a_m (a=l, ..., 32) и "фотон" - антисимметричный тензор 3-го ранга A_mvr [20]. При правильном учёте калибровочной инвариантности и ур-ний движения имеется 128 фермионных и 128 бозонных степеней свободы на массовой поверхности.

Действие выглядит достаточно просто, описание обозначений, 11-мерных матриц Дирака и т. д. см. в [5, 10, 20]. В обзоре [19] хорошо изложены тонкие моменты разл. способов компактификации с выделением 7-мерного многообразия.

Симметрия N= 8 С.- ортогональная группа О(8) - оказалась недостаточно широкой, чтобы вместить в себя прямое произведение цветовой группы квантовой хромоди-намики на группу стандартной теории электрослабого взаимодействия, SU(3)_CSU(2)U(1), блестяще подтверждённых экспериментом. К тому же группа О(8) является группой глобальной симметрии. Однако в неё можно всё же поместить SU(3) _сU(1)U(1). В принципе существуют изощрённые варианты N=8 С., в к-рых O(8) является калибровочной, а 28 векторных полей становятся соответствующими Янга-Миллса полями. Основная нерешённая проблема моделей такого рода-присутствие большой космологич. постоянной.

Другой мыслимый путь появления калибровочной группы стандартной модели в рамках N=8 С. основан на наблюдении, что на массовой поверхности симметрия O(8) расширяется до SU(8) [21 ]. Более того, лагранжиан N=8 С. обладает нелинейной Е₇. симметрией, 56 входящих в него скаляров описываются нелинейной сигма-моделью (см. Сигма-модели )на однородном пространстве группы E₇. с SU(8) в качестве группы стабильности вакуума. Идея [21 ] состоит в том, чтобы сделать SU(8) локальной введением 63 чисто калибровочных скалярных степеней свободы. При этом в лагранжиан необходимо ввести SU(8)-калибровочные векторные поля без кинетич. членов. На классич. (до квантования) уровне эти поля не распространяются, и после их исключения посредством ур-ний движения и выбора "унитарной" калибровки, в к-рой 63 калибровочных скаляра равны нулю, восстанавливается исходный лагранжиан. Однако после квантования эти калибровочные поля в принципе могли бы приобрести кинетич. члены за счёт радиационных поправок. Тогда локальная группа SU(8) стала бы настоящей калибровочной группой и появилось бы естеств. место для SU(3)_cSU(2)U(1)SU(8).

Ультрафиолетовые расходимости расширенных С. не устраняются до конца. Хотя они и обращаются в ноль для диаграмм с небольшим числом петель, тем не менее для любого варианта С. находится число петель, при к-ром контрчлены оказываются возможными, так что на основе симметрийных соображений не удаётся сделать к.-л. заключений о конечности теории.

Опыт исследований по С. открыл новые горизонты и оказался весьма полезным, напр., в теории суперструны и её компактификации. Отметим, что в точечном пределе теории суперструны (отвечающем учёту только безмассовых возбуждений) возникают 10-мерные С.

Лит.:1) Freedman D. Z., van Nieuwenhuizen P., Ferrara S., Progress toward a theory of supergravity, "Phys. Rev.", 1976, v. D13, p. 3214; Deser S., Zumino В., Consistent supergravity, "Phys. Lett.", 1976, v. 62B, p. 335; 2) Огиевецкий В., Сока-чев Э., Уравнения движения для суперполей, в кн.: Нелокальные, нелинейные и ненормированные теории поля. Материалы 4-го Международного совещания по нелокальным теориям поля. Алушта, апрель 1976, Дубна, 1976, с. 183; их же, On a vector superfield generated by the supercurrent, Дубна, 1976; их же, On a vector superfield generated by the supercurrent, "Nucl. Phys.", 1977, v. В124, p. 309; 3) Wess J., Zumino В., Superspace formulation of supergravity, "Phys. Lett.", 1977, v. 66B, p. 361; 4) Волков Д. В., Сорока В. А., Эффект Хиггса для голдстоуновских частиц со спином ¹/₂, "Письма в ЖЭТФ", 1973, т. 18, с. 529; 5) van Nieuwen-huizen P., Supergravity, "Phys. Repts", 1981, v. 68, p. 189; 6) Nilles H. P., Supersymmetry, supergravity and particle physics, "Phys. Repts", 1984, v. 110, p. 1; 7) Fradkin E. S., Tseytlin A. A., Conformal supergravity, "Phys. Repts", 1985, v. 119, p. 233; 8) Gates S. J., jr., et al. Superspace or one thousand and one lessons in supersymmetry, Reading (Mass.), 1983; 9) Весc Ю., Беггер Дж., Суперсимметрия и супергравитация, пер. с англ., М., 1986; 10) Stelle К. S., West Р. С., Minimal auxiliary fields for supergravity, "Phys. Lett.", 1978, v. 74B, p. 330; Ferrara S., van Nieuwenhuizen P., The auxiliary fields of supergravity, "Phys. Lett.", 1978, v. 74B, p. 333; 11) Огиевецкий В., Сокачев Э., Аксиальное суперполе и группа супергравитации, "Ядерная физика", 1978, т. 28, с. 1631; 12) их же, Гравитационное аксиальное суперполе и формализм дифференциальной геометрии, там же, 1980, т. 31, с. 821; 13) Wess J., Zumino В., Superfield Lagrangian for supergravity, "Phys. Lett.", 1978, v. 74B, p. 51; 14) Ferrara S., van Nieuwenhuizen P., Consistent super-gravity with complex spin - ³/₂ gauge fields, "Phys. Rev. Lett.", 1976, v. 37, p. 1669; 15) Fradkin E. S., Vasiliev M. A., Minimal set of auxiliary fields in SO (2) - extended supergravity, "Phys. Lett.", 1979, v. 85B, p. 47; de Wit В., van Holten J., van Proeyen A., Transformation rules of N=2supergravity multiplets, "Nucl. Phys.", 1980, v. B167, p. 186; 16) de Wit В., Lauwers P., van Proeyen A., Lagrangians of N=2supergravity-matter systems, "Nucl. Phys.", 1985, v. B255, p. 569; 17) Howe P. S., Supergravity in superspace, "Nucl. Phys.", 1982, v. B199, p. 309; 18) Galperin A. [a. o.], N=2supergravity in superspace, "Class. Quantum Grav.", 1987, v. 4, p. 1235, 1255; 19) Duff M., Nilsson B. E. W., Pope C. N., Ka-luza-Klein supergravity, "Phys. Repts", 1986, v. 130, p. 1; 20) Cremmer E., Julia В., Scherk J., Supergravity theory in 11 dimensions, "Phys. Lett.", 1978, v. 76B, p. 409; 21) их же, The SO (8) supergravity, "Nucl. Phys.", 1979, v. В159, p. 141.

E. А, Иванов, В. И. Огиевецкий.